(F) Um cabo coaxial é formado por um cilindro condutor maciço, infinito, de raio a e uma casca cilíndrica condutora, também infinita, de raio e espessura desprezível. O cilindro transporta uma corrente estacionária de intensidade , uniformemente distribuída sobre a sua seção transversal, enquanto a casca transporta uma corrente de mesma intensidade e sentido contrário. Determine o vetor campo magnético produzido pelo cabo em um ponto localizado a uma distância de seu eixo, considerando as regiões (i) , (ii) e (iii) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de eletromagnetismo juntos! A questão fala sobre um cabo coaxial, que é basicamente um conjunto de dois condutores cilíndricos infinitos com correntes opostas. Nosso objetivo é encontrar o vetor campo magnético em diferentes regiões ao redor desse cabo, usando a Lei de Ampère. Para isso, vamos precisar entender como a corrente está distribuída e aplicar a simetria cilíndrica para simplificar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Lei de Ampère nos ajuda a calcular o campo magnético gerado por correntes elétricas. Ela é dada por:
Aqui, é a integral do campo magnético ao longo de um caminho fechado, é a permeabilidade do vácuo, e é a corrente total que atravessa o caminho.
Como temos simetria cilíndrica, vamos escolher um caminho circular de raio centrado no eixo do cabo coaxial. Isso simplifica a integral, porque o campo tem a mesma magnitude em todos os pontos do caminho e é sempre tangencial.
Passo 3
Região (i):
Nesta região, estamos dentro do cilindro condutor maciço. A corrente é distribuída uniformemente, então precisamos encontrar a corrente presa dentro de um círculo de raio .
A densidade de corrente é:
A corrente presa dentro de raio é:
Aplicando a Lei de Ampère:
Resolvendo para :
Passo 4
Região (ii):
Aqui, estamos entre o cilindro central e a casca externa. Todo o corrente do cilindro central está dentro do caminho de Ampère, mas a casca externa tem corrente oposta que não está dentro deste caminho.
A corrente presa é apenas a do cilindro central:
Aplicando a Lei de Ampère:
Resolvendo para :
Passo 5
Região (iii):
Agora, estamos fora de ambos os condutores. O cilindro central carrega corrente e a casca externa carrega corrente (sentido oposto).
A corrente total presa é:
Aplicando a Lei de Ampère:
Portanto, o campo magnético é:
Resposta
O vetor campo magnético produzido pelo cabo coaxial em um ponto a uma distância do eixo é:
Onde é o vetor unitário na direção tangencial ao caminho circular escolhido.