Um mol de um gás ideal, cujo estado inicial é
, se expande isotermicamente até
e, na sequência, retorna ao estado inicial através de uma reta no diagrama
. Represente o processo completo no o diagrama
.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede: Temos um mol de gás ideal que começa em um estado inicial com pressão $ P_i $ e volume $ V_i $. Esse gás se expande de forma isotérmica até alcançar um volume final $ V_f $. Depois, ele retorna ao estado inicial seguindo uma linha reta no diagrama pressão-volume (PV). Para resolver isso, vamos precisar entender os processos isotérmico de expansão e como representar movimentos no diagrama PV, incluindo linhas retas.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a expansão isotérmica. “Isotérmica” significa que a temperatura do gás permanece constante durante a expansão. Para um gás ideal, a relação entre pressão e volume nessa condição é dada pela equação de Boyle:
Como a temperatura não muda, o produto $ P \times V $ permanece constante.
Passo 3
Agora, após a expansão isotérmica até o volume $ V_f $, o gás precisa retornar ao estado inicial
seguindo uma linha reta no diagrama PV. Uma linha reta no diagrama PV pode ser descrita pela equação linear:
Onde $ m $ é a inclinação da linha e $ c $ é a interceptação no eixo de pressão. Para determinar essa linha, sabemos que ela deve passar pelos pontos
e
.
Passo 4
Vamos encontrar os valores de $ m $ e $ c $ usando os pontos conhecidos.
Primeiro, sabemos que:
Usando os pontos
e
, temos:
Subtraindo as duas equações:
Então:
E, substituindo $ m $ numa das equações para encontrar $ c $:
Passo 5
Com os valores de $ m $ e $ c $ encontrados, a equação da reta que representa o retorno ao estado inicial é:
Resposta
O processo completo no diagrama $ PV $ consiste em uma curva hiperbólica representando a expansão isotérmica de $ (P_i, V_i) $ até $ V_f $, seguida por uma linha reta que retorna do ponto $ (V_f, P_f) $ de volta ao estado inicial $ (P_i, V_i) $, onde $ P_f = \frac{P_i V_i}{V_f} $.