O cilindro deitado no eixo x é dado por e .
Cácule o volume usando integral dupla.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer calcular o volume de um cilindro que tá deitado no eixo x. A equação que define o cilindro é e a extensão do cilindro no eixo x vai de até . Para resolver isso, vamos usar integral dupla, que faz parte do cálculo integral. Basicamente, vamos somar pequenas fatias de área para encontrar o volume total.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o cilindro. Ele está deitado no eixo x, então a base do cilindro é um círculo no plano yz com raio . A altura do cilindro ao longo do x é . Para calcular o volume, podemos pensar em empilhar infinitas “fatias” circulares ao longo do eixo x.

Passo 3

A fórmula para o volume usando integral dupla é:
Aqui, é a área da base do cilindro, que é um círculo de raio . Então, a integral dupla vai nos dar a área dessa base.

Passo 4

Vamos calcular a área do círculo . Para isso, é mais fácil usar coordenadas polares no plano yz. Fazendo a troca para coordenadas polares:
O elemento de área em coordenadas polares é . Então, a área fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral para a área:
Primeiro, integramos com relação a :
Agora, substituímos de volta na integral:
Então, a área da base é .

Passo 6

Agora que temos a área da base, vamos voltar à integral do volume:
Como é uma constante em relação a , a integral fica:

Resposta

O volume do cilindro é .

Exercícios relacionados

Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais.
(a)
Calcule e em cada item.
©
Determine o volume do sólido formado pela região abaixo da superfície e acima da região limitada pelo pano .
Mude a ordem de integração