Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais.
(a) ointC(3 x y) d x+(2 x y) d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha usando o Teorema de Green. A questão pede para calcular . A gente vai precisar entender como aplicar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais de área.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Green. Ele nos permite transformar uma integral de linha ao redor de uma curva fechada ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy em uma integral dupla sobre a região limitada por . A fórmula é:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro, partial Qpartial x = partialpartial x (2xy) = 2y :
partial Ppartial y = partialpartial y (3xy) = 3x
Depois, :

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
integral duplaD (2y - 3x) , dx , dy
Agora, precisamos definir os limites de integração para a região . Como a curva não foi especificada, vamos supor que é uma curva simples que delimita uma região .

Passo 5

Sem informações específicas sobre ointC(3xy) dx + (2xy) dy = integral duplaD (2y - 3x) , dx , dy , não podemos calcular a integral dupla de forma explícita. Contudo, a aplicação do Teorema de Green foi feita corretamente, transformando a integral de linha em uma integral dupla sobre :

Resposta

A integral usando o Teorema de Green é igual à integral dupla .

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