Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha usando o Teorema de Green. A questão pede para calcular
. A gente vai precisar entender como aplicar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais de área.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Green. Ele nos permite transformar uma integral de linha ao redor de uma curva fechada
em uma integral dupla sobre a região
limitada por
. A fórmula é:
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro,
:
Depois,
:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
Agora, precisamos definir os limites de integração para a região
. Como a curva
não foi especificada, vamos supor que
é uma curva simples que delimita uma região
.
Passo 5
Sem informações específicas sobre
, não podemos calcular a integral dupla de forma explícita. Contudo, a aplicação do Teorema de Green foi feita corretamente, transformando a integral de linha em uma integral dupla sobre
:
Resposta
A integral
usando o Teorema de Green é igual à integral dupla
.
Exercícios relacionados
Calcule
e
em cada item.
©
©
Dada a equação
onde
e
são constantes, determine as constantes
e
de tal modo que, ao usarmos a mudança de variáveis
e
, a expressão acima resulta em
O cilindro deitado no eixo x é dado por
e
.
Cácule o volume usando integral dupla.
Cácule o volume usando integral dupla.
Determine o volume do sólido formado pela região abaixo da superfície
e acima da região limitada pelo pano
.