Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais.
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha usando o Teorema de Green. A questão pede para calcular . A gente vai precisar entender como aplicar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais de área.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Green. Ele nos permite transformar uma integral de linha ao redor de uma curva fechada em uma integral dupla sobre a região limitada por . A fórmula é:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro, :
Depois, :

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
Agora, precisamos definir os limites de integração para a região . Como a curva não foi especificada, vamos supor que é uma curva simples que delimita uma região .

Passo 5

Sem informações específicas sobre , não podemos calcular a integral dupla de forma explícita. Contudo, a aplicação do Teorema de Green foi feita corretamente, transformando a integral de linha em uma integral dupla sobre :

Resposta

A integral usando o Teorema de Green é igual à integral dupla .

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Calcule e em cada item.
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Dada a equação
onde e são constantes, determine as constantes e de tal modo que, ao usarmos a mudança de variáveis e , a expressão acima resulta em
O cilindro deitado no eixo x é dado por e .
Cácule o volume usando integral dupla.
Determine o volume do sólido formado pela região abaixo da superfície e acima da região limitada pelo pano .