Um cilindro dielétrico, infinitamente longo, de raio b , contém carga no interior de seu volume de densidade pv=a p^2, onde a é uma constante. Encontre a intensidade de campo elétrico no interior e no exterior do cilindro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um cilindro dielétrico infinitamente longo com raio . Dentro desse cilindro, tem uma distribuição de carga com densidade volumétrica , onde é uma constante. Nosso objetivo é encontrar a intensidade do campo elétrico tanto no interior quanto no exterior desse cilindro.
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil para encontrar campos elétricos em situações com simetria, como aqui com o cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a simetria do problema. Como o cilindro é infinito e tem simetria cilíndrica, o campo elétrico vai depender apenas da distância ao eixo do cilindro e vai apontar radialmente para fora ou para dentro.

Passo 3

Vamos aplicar a Lei de Gauss, que diz que:
oint E cdot dA = Qencvarepsilon0
Aqui, é a carga total dentro da superfície fechada que escolhemos (a chamada superfície gaussiana) e é a permissividade do vácuo.

Passo 4

Vamos escolher nossa superfície gaussiana como um cilindro coaxial com o cilindro dado, de raio e comprimento . Devido à simetria, o campo elétrico tem a mesma magnitude em todos os pontos dessa superfície e é perpendicular à superfície.

Passo 5

Calculando o fluxo elétrico, temos:
oint E cdot dA = E cdot 2pi p L
Isso porque a área lateral do cilindro gaussiano é e é constante em magnitude e perpendicular à superfície.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar Qenc = integral rhov , dV = integral0^p a p'^2 cdot 2pi p' L , dp' , a carga dentro da superfície gaussiana. A densidade de carga é , então a carga total é:
Aqui, estamos integrando de até (dentro do cilindro gaussiano) e é a variável de integração radial.

Passo 7

Resolvendo a integral:
Qenc = 2pi a L integral0^p p'^3 , dp' = 2pi a L [ p'^44 ]0^p = pi a L p^42

Passo 8

Aplicando a Lei de Gauss:
E cdot 2pi p L = pi a L p^42 varepsilon0
Simplificando:
E = a p^34 varepsilon0
Este é o campo elétrico dentro do cilindro ( ).

Passo 9

Agora, para o campo elétrico fora do cilindro ( Qtotal = pi a L b^42 ), a carga total dentro do cilindro é:
E cdot 2pi p L = pi a L b^42 varepsilon0
Aplicando novamente a Lei de Gauss para E = a b^44 varepsilon0 p :
Simplificando:

Resposta

A intensidade do campo elétrico é:
E(p) = a p^34, varepsilon0 & para p < b a b^44, varepsilon0 p & para p >= b

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