Um cilindro dielétrico, infinitamente longo, de raio b , contém carga no interior de seu volume de densidade
, onde a é uma constante. Encontre a intensidade de campo elétrico no interior e no exterior do cilindro.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um cilindro dielétrico infinitamente longo com raio
. Dentro desse cilindro, tem uma distribuição de carga com densidade volumétrica
, onde
é uma constante. Nosso objetivo é encontrar a intensidade do campo elétrico tanto no interior quanto no exterior desse cilindro.
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil para encontrar campos elétricos em situações com simetria, como aqui com o cilindro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a simetria do problema. Como o cilindro é infinito e tem simetria cilíndrica, o campo elétrico vai depender apenas da distância
ao eixo do cilindro e vai apontar radialmente para fora ou para dentro.
Passo 3
Vamos aplicar a Lei de Gauss, que diz que:
Aqui,
é a carga total dentro da superfície fechada que escolhemos (a chamada superfície gaussiana) e
é a permissividade do vácuo.
Passo 4
Vamos escolher nossa superfície gaussiana como um cilindro coaxial com o cilindro dado, de raio
e comprimento
. Devido à simetria, o campo elétrico
tem a mesma magnitude em todos os pontos dessa superfície e é perpendicular à superfície.
Passo 5
Calculando o fluxo elétrico, temos:
Isso porque a área lateral do cilindro gaussiano é
e
é constante em magnitude e perpendicular à superfície.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar
, a carga dentro da superfície gaussiana. A densidade de carga é
, então a carga total é:
Aqui, estamos integrando de
até
(dentro do cilindro gaussiano) e
é a variável de integração radial.
Passo 7
Resolvendo a integral:
Passo 8
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando:
Este é o campo elétrico dentro do cilindro (
).
Passo 9
Agora, para o campo elétrico fora do cilindro (
), a carga total dentro do cilindro é:
Aplicando novamente a Lei de Gauss para
:
Simplificando:
Resposta
A intensidade do campo elétrico é: