Um cilindro dielétrico, infinitamente longo, de raio b , contém carga no interior de seu volume de densidade , onde a é uma constante. Encontre a intensidade de campo elétrico no interior e no exterior do cilindro.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um **cilindro dielétrico** infinitamente longo com raio . Dentro desse cilindro, tem uma distribuição de carga com densidade volumétrica , onde é uma constante. Nosso objetivo é encontrar a intensidade do **campo elétrico** tanto no interior quanto no exterior desse cilindro.
Para resolver isso, vamos usar a **Lei de Gauss**, que é super útil para encontrar campos elétricos em situações com simetria, como aqui com o cilindro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a simetria do problema. Como o cilindro é infinito e tem simetria cilíndrica, o campo elétrico vai depender apenas da distância ao eixo do cilindro e vai apontar radialmente para fora ou para dentro.
Passo 3
Vamos aplicar a **Lei de Gauss**, que diz que:
Aqui, é a carga total dentro da superfície fechada que escolhemos (a chamada superfície gaussiana) e é a permissividade do vácuo.
Passo 4
Vamos escolher nossa superfície gaussiana como um cilindro coaxial com o cilindro dado, de raio e comprimento . Devido à simetria, o campo elétrico tem a mesma magnitude em todos os pontos dessa superfície e é perpendicular à superfície.
Passo 5
Calculando o fluxo elétrico, temos:
Isso porque a área lateral do cilindro gaussiano é e é constante em magnitude e perpendicular à superfície.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar , a carga dentro da superfície gaussiana. A densidade de carga é , então a carga total é:
Aqui, estamos integrando de até (dentro do cilindro gaussiano) e é a variável de integração radial.
Passo 7
Resolvendo a integral:
Passo 8
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando:
Este é o campo elétrico **dentro** do cilindro ().
Passo 9
Agora, para o campo elétrico **fora** do cilindro (), a carga total dentro do cilindro é:
Aplicando novamente a Lei de Gauss para :
Simplificando: