Seja,
rhonu=cc 10r^2 m C / m^3 & 04
b) Determine D em r=1 m e r = =5 m.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente determinar para dois valores de : 1 metro e 5 metros. A gente tem uma função de densidade que varia com . Vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a relação entre a densidade de carga e o campo elétrico . Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a lei de Gauss e calcular em diferentes regiões.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função rhonu = 10r^2 , mC/m^3 & se 0 < r <= 4 0 & se r > 4 . Ela está definida de duas maneiras:
Isso significa que a densidade de carga depende de e é diferente dentro e fora do raio de 4 metros.

Passo 3

Agora, sabemos que o campo elétrico oint D cdot dA = Qlivre está relacionado à densidade de carga pela lei de Gauss:
D cdot 4pi r^2 = Qlivre
Onde é a carga livre dentro da superfície gaussiana. Para simetria esférica, podemos simplificar a integral e escrever:
Então, para encontrar , precisamos calcular para cada valor de .

Passo 4

Vamos calcular rhonu = 10r^2 , mC/m^3 para Qlivre = integral0^1 rhonu cdot 4pi r^2 dr = integral0^1 10r^2 cdot 4pi r^2 dr = 40pi integral0^1 dr = 40pi [r]0^1 = 40pi , mC m e Qlivre = integral0^4 10r^2 cdot 4pi r^2 dr = 40pi integral0^4 dr = 40pi [r]0^4 = 160pi , mC m.
Para m:
Como , usamos a primeira parte da função :
A carga livre dentro do raio de 1 metro é a integral da densidade de carga sobre o volume:
Para m:
Como , a densidade de carga para . Então, a carga livre dentro de 5 metros é a carga dentro de 4 metros.
Calculamos até 4 metros:

Passo 5

Agora, usando a relação D cdot 4pi (1)^2 = 40pi D = 40pi4pi = 10 , mC/m^2 , podemos encontrar D cdot 4pi (5)^2 = 160pi D = 160pi100pi = 1.6 , mC/m^2 :
Para m:
Para m:

Resposta

Para m, e para m, .

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