Seja,
b) Determine D em r=1 m e r =
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente determinar
para dois valores de
: 1 metro e 5 metros. A gente tem uma função de densidade
que varia com
. Vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a relação entre a densidade de carga e o campo elétrico
. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a lei de Gauss e calcular
em diferentes regiões.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Ela está definida de duas maneiras:
Isso significa que a densidade de carga depende de
e é diferente dentro e fora do raio de 4 metros.
Passo 3
Agora, sabemos que o campo elétrico
está relacionado à densidade de carga pela lei de Gauss:
Onde
é a carga livre dentro da superfície gaussiana. Para simetria esférica, podemos simplificar a integral e escrever:
Então, para encontrar
, precisamos calcular
para cada valor de
.
Passo 4
Vamos calcular
para
m e
m.
Para
m:
Como
, usamos a primeira parte da função
:
A carga livre dentro do raio de 1 metro é a integral da densidade de carga sobre o volume:
Para
m:
Como
, a densidade de carga
para
. Então, a carga livre dentro de 5 metros é a carga dentro de 4 metros.
Calculamos
até 4 metros:
Passo 5
Agora, usando a relação
, podemos encontrar
:
Para
m:
Para
m:
Resposta
Para
m,
e para
m,
.