Um disco circular de raio a está uniformemente carregado com rhos C / m^2. Considere o disco no plano z=0 com seu eixo ao longo do eixo z.
c) Demonstre que o campo elétrico no ponto (0,0, h) é

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um disco circular com raio , totalmente carregado de forma uniforme, ou seja, com densidade superficial de carga em unidades de . Esse disco está no plano e o eixo de simetria está ao longo do eixo . A gente precisa mostrar como calcular o campo elétrico nesse disco no ponto . Vamos usar princípios de eletrostática para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico gerado por uma distribuição de carga pode ser encontrado integrando as contribuições de pequenas partes dessa carga. No caso do disco, vamos imaginar dividindo ele em anéis infinitesimais com raio e espessura .

Passo 3

Cada um desses anéis tem uma carga infinitesimal dq = rhos times dA = rhos times 2pi r dr , que pode ser calculada multiplicando a densidade superficial de carga pela área do anel. A área de um anel é , então:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o campo elétrico dE = 14piepsilon0 times dq times h(r^2 + h^2)^3/2 gerado por esse anel no ponto . Devido à simetria, as componentes horizontais dos campos elétricos se cancelam, e só sobra a componente ao longo do eixo . A expressão para é:
onde é a permissividade do vácuo.

Passo 5

Substituindo dE = 14piepsilon0 times rhos times 2pi r dr times h(r^2 + h^2)^3/2 na expressão de dE = rhos h2epsilon0 times r dr(r^2 + h^2)^3/2 , temos:
Simplificando os termos:

Passo 6

Para encontrar o campo total E = integral0^a rhos h2epsilon0 times r dr(r^2 + h^2)^3/2 , integremos de até :
Essa integral pode ser resolvida fazendo uma substituição , o que simplifica a integração.

Passo 7

Após resolver a integral, chegamos à expressão final para o campo elétrico no ponto E = rhos2epsilon0 ( 1 - hraiza^2 + h^2 ) :

Resposta

O campo elétrico no ponto E = rhos2epsilon0 ( 1 - hraiza^2 + h^2 ) é dado por:

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