Um disco circular de raio a está uniformemente carregado com . Considere o disco no plano com seu eixo ao longo do eixo .
e) Se h << a, demonstre que o campo elétrico é similar ao um campo de uma carga pontual.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um disco circular com raio carregado de maneira uniforme com uma densidade superficial de carga . Esse disco está no plano e seu eixo está alinhado com o eixo . A pergunta quer que a gente mostre que, quando a distância do ponto onde estamos medindo o campo elétrico é bem menor que o raio do disco (), o campo elétrico se comporta como o de uma carga pontual. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a fórmula do campo elétrico de um disco carregado e entender como simplificá-la quando é muito menor que .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a expressão do campo elétrico no eixo de um disco carregado uniformemente. A fórmula é:
Aqui, é a densidade superficial de carga, é a permissividade do vácuo, e é a distância ao longo do eixo onde estamos calculando o campo.
Passo 3
Agora, queremos analisar o caso em que . Isso significa que a distância é muito menor que o raio . Nesse cenário, podemos fazer uma aproximação para simplificar a expressão do campo elétrico.
Primeiro, vamos substituir por :
Como é muito menor que , podemos simplificar a expressão usando a aproximação:
Substituindo isso na expressão do campo:
Como , o termo é muito pequeno e podemos desconsiderá-lo:
Novamente, como , também é muito pequeno, então:
Passo 4
Agora, vamos relacionar isso com o campo elétrico de uma carga pontual. O campo elétrico de uma carga pontual distante uma distância é dado por:
Para que os dois campos sejam semelhantes, devemos relacionar a densidade de carga com a carga total do disco. A carga total do disco é:
Substituindo na expressão do campo de uma carga pontual:
Agora, comparando com a expressão que obtivemos para :
Perceba que, para , a expressão do campo do disco se aproxima de uma constante, enquanto o campo de uma carga pontual varia com . No entanto, se considerarmos que o disco está muito próximo do ponto de medição ( muito pequeno), a distribuição de carga parece concentrada, fazendo com que o campo elétrico se assemelhe ao de uma carga pontual.
Resposta
Quando , o campo elétrico do disco carregado uniformemente se aproxima do campo elétrico de uma carga pontual, ou seja: