Um cilindro dielétrico infinito de raio
, localizado no vácuo, tem polarização dada por
onde
é uma constante e
é a distância radial até o eixo de simetria do cilindro. A permissividade elétrica do vácuo é
. Usando coordenadas cilíndricas, calcule:
b) O vetor campo elétrico
nas regiões (i)
e (ii)
.
b) O vetor campo elétrico
Passo 1
Beleza, vamos ver o que o problema está pedindo. Temos um cilindro dielétrico infinito com raio
, localizado no vácuo. A polarização desse cilindro é dada por
, onde
é uma constante e
é a distância radial até o eixo do cilindro. Queremos calcular o campo elétrico
em duas regiões: dentro do cilindro (
) e fora dele (
). Para resolver isso, vamos usar conceitos de polarização em dielétricos e a Lei de Gauss em coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as cargas ligadas que surgem devido à polarização do material. A polarização
está relacionada às cargas ligadas superficial (
) e volumétricas (
) pelas seguintes fórmulas:
Aqui,
é a normal à superfície.
Passo 3
Vamos calcular a carga superficial ligada
no raio
. Como a polarização é radial (
), e a normal à superfície também é
, temos:
Então, a carga superficial ligada é
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a carga volumétrica ligada
. Para isso, precisamos calcular a divergência de
em coordenadas cilíndricas:
Como
, temos
e
. Portanto:
Logo, a carga volumétrica ligada é:
Passo 5
Com as cargas ligadas determinadas, podemos agora aplicar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico
. A Lei de Gauss nos diz que:
Onde
é a carga total encerrada pela superfície gaussiana.
Passo 6
Vamos considerar duas regiões separadamente:
Região (i)
Nesta região, apenas a carga volumétrica ligada está presente. Vamos escolher uma superfície gaussiana cilíndrica de raio
e comprimento
.
A carga encerrada
é dada por:
A simetria do problema indica que
é radial e constante na superfície gaussiana, então:
Resolvendo para
:
Região (ii)
Nesta região, temos a carga superficial ligada no cilindro e a carga volumétrica de todo o cilindro. A carga total encerrada é:
Então, não há carga líquida encerrada, o que implica que
para
.
Resposta
Para o campo elétrico
:
-
Região (i)
: -
Região (ii)
: