Um cilindro dielétrico infinito de raio a, localizado no vácuo, tem polarização dada por
P=k r r
onde k é uma constante e r é a distância radial até o eixo de simetria do cilindro. A permissividade elétrica do vácuo é epsilon0. Usando coordenadas cilíndricas, calcule:
b) O vetor campo elétrico E nas regiões (i) r e (ii) r>a.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o problema está pedindo. Temos um cilindro dielétrico infinito com raio , localizado no vácuo. A polarização desse cilindro é dada por , onde é uma constante e é a distância radial até o eixo do cilindro. Queremos calcular o campo elétrico em duas regiões: dentro do cilindro ( ) e fora dele ( ). Para resolver isso, vamos usar conceitos de polarização em dielétricos e a Lei de Gauss em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as cargas ligadas que surgem devido à polarização do material. A polarização sigmab = P cdot n está relacionada às cargas ligadas superficial ( rhob = -nabla cdot P ) e volumétricas ( ) pelas seguintes fórmulas:
Aqui, é a normal à superfície.

Passo 3

Vamos calcular a carga superficial ligada sigmab = P cdot n = k a r cdot r = k a no raio . Como a polarização é radial ( ), e a normal à superfície também é , temos:
Então, a carga superficial ligada é .

Passo 4

Agora, vamos calcular a carga volumétrica ligada nabla cdot P = 1r partialpartial r (r Pr) + 1r partial Pthetapartial theta + partial Pzpartial z . Para isso, precisamos calcular a divergência de nabla cdot P = 1r partialpartial r (k r^2) = 1r cdot 2k r = 2k em coordenadas cilíndricas:
rhob = -nabla cdot P = -2k
Como , temos e . Portanto:
Logo, a carga volumétrica ligada é:

Passo 5

Com as cargas ligadas determinadas, podemos agora aplicar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico oint E cdot dA = Qencepsilon0 . A Lei de Gauss nos diz que:
Onde é a carga total encerrada pela superfície gaussiana.

Passo 6

Vamos considerar duas regiões separadamente:

Região (i) Qenc = rhob cdot Volume = (-2k) cdot (pi r^2 L) = -2k pi r^2 L

Nesta região, apenas a carga volumétrica ligada está presente. Vamos escolher uma superfície gaussiana cilíndrica de raio E cdot 2pi r L = -2k pi r^2 Lepsilon0 e comprimento E = -2k pi r^2 Lepsilon0 cdot 2pi r L = -k repsilon0 .
A carga encerrada Qenc = sigmab cdot Área + rhob cdot Volume = (k a) cdot (2pi a L) + (-2k) cdot (pi a^2 L) = 2pi k a^2 L - 2pi k a^2 L = 0 é dada por:
A simetria do problema indica que é radial e constante na superfície gaussiana, então:
Resolvendo para :

Região (ii)

Nesta região, temos a carga superficial ligada no cilindro e a carga volumétrica de todo o cilindro. A carga total encerrada é:
Á
Então, não há carga líquida encerrada, o que implica que para .

Resposta

Para o campo elétrico E = -k repsilon0 r :
  • Região (i) E = 0 :
  • Região (ii) :

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