Um cilindro dielétrico infinito de raio , localizado no vácuo, tem polarização dada por
onde é uma constante e é a distância radial até o eixo de simetria do cilindro. A permissividade elétrica do vácuo é . Usando coordenadas cilíndricas, calcule:
b) O vetor campo elétrico nas regiões (i) e (ii) .

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o problema está pedindo. Temos um cilindro dielétrico infinito com raio , localizado no vácuo. A polarização desse cilindro é dada por , onde é uma constante e é a distância radial até o eixo do cilindro. Queremos calcular o campo elétrico em duas regiões: dentro do cilindro ( ) e fora dele ( ). Para resolver isso, vamos usar conceitos de polarização em dielétricos e a Lei de Gauss em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as cargas ligadas que surgem devido à polarização do material. A polarização está relacionada às cargas ligadas superficial ( ) e volumétricas ( ) pelas seguintes fórmulas:
Aqui, é a normal à superfície.

Passo 3

Vamos calcular a carga superficial ligada no raio . Como a polarização é radial ( ), e a normal à superfície também é , temos:
Então, a carga superficial ligada é .

Passo 4

Agora, vamos calcular a carga volumétrica ligada . Para isso, precisamos calcular a divergência de em coordenadas cilíndricas:
Como , temos e . Portanto:
Logo, a carga volumétrica ligada é:

Passo 5

Com as cargas ligadas determinadas, podemos agora aplicar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico . A Lei de Gauss nos diz que:
Onde é a carga total encerrada pela superfície gaussiana.

Passo 6

Vamos considerar duas regiões separadamente:

Região (i)

Nesta região, apenas a carga volumétrica ligada está presente. Vamos escolher uma superfície gaussiana cilíndrica de raio e comprimento .
A carga encerrada é dada por:
A simetria do problema indica que é radial e constante na superfície gaussiana, então:
Resolvendo para :

Região (ii)

Nesta região, temos a carga superficial ligada no cilindro e a carga volumétrica de todo o cilindro. A carga total encerrada é:
Á
Então, não há carga líquida encerrada, o que implica que para .

Resposta

Para o campo elétrico :
  • Região (i) :
  • Região (ii) :

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Resp.
onde
Uma esfera sólida de raio tem uma densidade de carga não uniforme que varia com de acordo com a expressão , onde é uma constante e é medida a partir do centro da esfera. (a) Mostre que o campo elétrico fora da esfera ( ) é . (b) Mostre que o campo elétrico dentro da esfera é .
Uma esfera sólida de raio tem uma densidade de carga não uniforme que varia com de acordo com a expressão , onde é uma constante e é medida a partir do centro da esfera. Utilizando a lei de Gauss calcule (a) o campo elétrico fora da esfera ( ) e (b) o campo elétrico dentro da esfera .