Uma esfera sólida de raio
tem uma densidade de carga não uniforme que varia com
de acordo com a expressão
, onde
é uma constante e
é medida a partir do centro da esfera. (a) Mostre que o campo elétrico fora da esfera (
) é
. (b) Mostre que o campo elétrico dentro da esfera
é
.
Passo 1
Vamos resumir o que pede o exercício e identificar o conteúdo que vamos utilizar. Temos uma esfera sólida de raio
com uma densidade de carga que varia conforme a distância do centro, dada por
. Precisamos encontrar o campo elétrico
gerado por essa esfera em duas situações:
- (a) Fora da esfera (
) - (b) Dentro da esfera (
)
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga contida dentro dela.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a carga total
da esfera. A densidade de carga
varia com
, então precisamos integrar
sobre todo o volume da esfera.
A fórmula para a carga total é:
Substituindo
:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico fora da esfera (
). A Lei de Gauss diz que:
Onde:
-
é o campo elétrico -
é um elemento de área da superfície gaussiana -
é a carga encerrada pela superfície -
é a permissividade do vácuo
Para
, toda a carga
está dentro da superfície gaussiana (esfera de raio
).
Passo 4
Considerando a simetria esférica, o campo elétrico
é radial e de intensidade constante na superfície gaussiana. A área dessa superfície é
. Aplicando a Lei de Gauss:
Isolando
:
Portanto, mostramos que fora da esfera
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar o campo elétrico dentro da esfera (
). Novamente, usamos a Lei de Gauss, mas agora a superfície gaussiana está dentro da esfera, então precisamos calcular a carga encerrada
até esse raio
.
Passo 6
Calculando
para
:
Passo 7
Aplicando a Lei de Gauss dentro da esfera:
Isolando
:
Assim, mostramos que dentro da esfera
.
Resposta
(a) O campo elétrico fora da esfera (
) é:
(b) O campo elétrico dentro da esfera (
) é:
Exercícios relacionados
Um cilindro dielétrico infinito de raio
, localizado no vácuo, tem polarização dada por
onde
é uma constante e
é a distância radial até o eixo de simetria do cilindro. A permissividade elétrica do vácuo é
. Usando coordenadas cilíndricas, calcule:
b) O vetor campo elétrico nas regiões (i)
e (ii)
.
b) O vetor campo elétrico
-6 Qual é o valor absoluto de uma carga pontual capaz de criar um campo elétrico de 1,00 N/C em um ponto a
de distância?
Uma esfera sólida de raio
tem uma densidade de carga não uniforme que varia com
de acordo com a expressão
, onde
é uma constante e
é medida a partir do centro da esfera. Utilizando a lei de Gauss calcule (a) o campo elétrico fora da esfera (
) e (b) o campo elétrico dentro da esfera
.
Considere um cilindro longo de raio
, que possui em seu interior uma densidade de cargas
, onde
é uma constante positiva, sendo
a distância medida desde o eixo do cilindro. Mostre que (a) a distância a partir do eixo onde o campo é máximo vale
o maior valor do campo em módulo é
.