Uma esfera sólida de raio R tem uma densidade de carga não uniforme que varia com r de acordo com a expressão rho=alpha r^2, onde alpha é uma constante e r< R é medida a partir do centro da esfera. (a) Mostre que o campo elétrico fora da esfera ( r> R ) é E=alpha R^55 varepsilon0 r^2. (b) Mostre que o campo elétrico dentro da esfera (r é E=alpha r^35 varepsilon0.

Passo 1

Vamos resumir o que pede o exercício e identificar o conteúdo que vamos utilizar. Temos uma esfera sólida de raio com uma densidade de carga que varia conforme a distância do centro, dada por . Precisamos encontrar o campo elétrico gerado por essa esfera em duas situações:
  • (a) Fora da esfera ( )
  • (b) Dentro da esfera ( )
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga contida dentro dela.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a carga total Q = integral0^R rho cdot 4pi r^2 dr da esfera. A densidade de carga Q = integral0^R alpha r^2 cdot 4pi r^2 dr = 4pi alpha integral0^R r^4 dr = 4pi alpha [r^55]0^R = 4pi alpha R^55 varia com , então precisamos integrar sobre todo o volume da esfera.
A fórmula para a carga total é:
Substituindo :

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico fora da esfera ( oint E cdot dA = Qencvarepsilon0 ). A Lei de Gauss diz que:
Onde:
  • é o campo elétrico
  • é um elemento de área da superfície gaussiana
  • é a carga encerrada pela superfície
  • é a permissividade do vácuo
Para , toda a carga está dentro da superfície gaussiana (esfera de raio ).

Passo 4

Considerando a simetria esférica, o campo elétrico E cdot 4pi r^2 = Qvarepsilon0 é radial e de intensidade constante na superfície gaussiana. A área dessa superfície é E = Q4pi varepsilon0 r^2 = 4pi alpha R^5/54pi varepsilon0 r^2 = alpha R^55 varepsilon0 r^2 . Aplicando a Lei de Gauss:
Isolando :
Portanto, mostramos que fora da esfera .

Passo 5

Agora, vamos encontrar o campo elétrico dentro da esfera ( ). Novamente, usamos a Lei de Gauss, mas agora a superfície gaussiana está dentro da esfera, então precisamos calcular a carga encerrada até esse raio .

Passo 6

Calculando Qenc = integral0^r rho cdot 4pi r'^2 dr' = 4pi alpha integral0^r r'^4 dr' = 4pi alpha [r'^55]0^r = 4pi alpha r^55 para :

Passo 7

Aplicando a Lei de Gauss dentro da esfera:
E cdot 4pi r^2 = Qencvarepsilon0 = 4pi alpha r^5/5varepsilon0
Isolando E = 4pi alpha r^5/54pi varepsilon0 r^2 = alpha r^35 varepsilon0 :
Assim, mostramos que dentro da esfera .

Resposta

(a) O campo elétrico fora da esfera ( E = alpha R^55 varepsilon0 r^2 ) é:
E = alpha r^35 varepsilon0
(b) O campo elétrico dentro da esfera ( ) é:

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