Uma esfera sólida de raio tem uma densidade de carga não uniforme que varia com de acordo com a expressão , onde é uma constante e é medida a partir do centro da esfera. (a) Mostre que o campo elétrico fora da esfera ( ) é . (b) Mostre que o campo elétrico dentro da esfera é .

Passo 1

Vamos resumir o que pede o exercício e identificar o conteúdo que vamos utilizar. Temos uma esfera sólida de raio com uma densidade de carga que varia conforme a distância do centro, dada por . Precisamos encontrar o campo elétrico gerado por essa esfera em duas situações:
  • (a) Fora da esfera ( )
  • (b) Dentro da esfera ( )
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga contida dentro dela.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a carga total da esfera. A densidade de carga varia com , então precisamos integrar sobre todo o volume da esfera.
A fórmula para a carga total é:
Substituindo :

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico fora da esfera ( ). A Lei de Gauss diz que:
Onde:
  • é o campo elétrico
  • é um elemento de área da superfície gaussiana
  • é a carga encerrada pela superfície
  • é a permissividade do vácuo
Para , toda a carga está dentro da superfície gaussiana (esfera de raio ).

Passo 4

Considerando a simetria esférica, o campo elétrico é radial e de intensidade constante na superfície gaussiana. A área dessa superfície é . Aplicando a Lei de Gauss:
Isolando :
Portanto, mostramos que fora da esfera .

Passo 5

Agora, vamos encontrar o campo elétrico dentro da esfera ( ). Novamente, usamos a Lei de Gauss, mas agora a superfície gaussiana está dentro da esfera, então precisamos calcular a carga encerrada até esse raio .

Passo 6

Calculando para :

Passo 7

Aplicando a Lei de Gauss dentro da esfera:
Isolando :
Assim, mostramos que dentro da esfera .

Resposta

(a) O campo elétrico fora da esfera ( ) é:
(b) O campo elétrico dentro da esfera ( ) é:

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onde é uma constante e é a distância radial até o eixo de simetria do cilindro. A permissividade elétrica do vácuo é . Usando coordenadas cilíndricas, calcule:
b) O vetor campo elétrico nas regiões (i) e (ii) .
-6 Qual é o valor absoluto de uma carga pontual capaz de criar um campo elétrico de 1,00 N/C em um ponto a de distância?
Uma esfera sólida de raio tem uma densidade de carga não uniforme que varia com de acordo com a expressão , onde é uma constante e é medida a partir do centro da esfera. Utilizando a lei de Gauss calcule (a) o campo elétrico fora da esfera ( ) e (b) o campo elétrico dentro da esfera .
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