Uma esfera sólida de raio R tem uma densidade de carga não uniforme que varia com r de acordo com a expressão rho=rho0 sin theta, onde rho0 é uma constante e r é medida a partir do centro da esfera. Utilizando a lei de Gauss calcule (a) o campo elétrico fora da esfera ( r>R ) e (b) o campo elétrico dentro da esfera (r.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma esfera sólida de raio R com uma densidade de carga que não é constante. A densidade de carga varia com a posição dentro da esfera de acordo com a expressão rho = rho0 sin theta, onde rho0 é uma constante e theta é o ângulo polar em coordenadas esféricas. Nosso objetivo é usar a Lei de Gauss para calcular:
(a) O campo elétrico fora da esfera ( r > R)
(b) O campo elétrico dentro da esfera ( r < R)
Para resolver isso, vamos precisar entender a Lei de Gauss e como ela se aplica a distribuições de carga com simetrias específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica varepsilon0:
oint E cdot dA = Qinternovarepsilon0
Essa lei é super útil quando a distribuição de carga tem alguma simetria, como esférica, cilíndrica ou planar.

Passo 3

Agora, vamos analisar a simetria do problema. A densidade de carga rho = rho0 sin theta depende apenas do ângulo theta e não da distância r. Isso sugere que a distribuição de carga tem simetria esférica, mas não é uniforme. No entanto, a dependência de theta pode complicar as coisas, já que a simetria esférica completa não está presente.

Passo 4

Vamos começar com a parte (a): calcular o campo elétrico fora da esfera ( r > R). Para isso, precisamos encontrar a carga total dentro da esfera.
A carga total Q é a integral da densidade de carga sobre o volume da esfera:
Q = integral rho , dV
Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é dV = r^2 sin theta , dr , dtheta , dphi.

Passo 5

Substituindo rho na integral:
Q = rho0 integral0^R integral0^pi integral0^2pi sin theta cdot r^2 sin theta , dphi , dtheta , dr
Isso simplifica para:
Q = rho0 integral0^R r^2 dr integral0^pi sin^2 theta , dtheta integral0^2pi dphi

Passo 6

Calculando cada integral separadamente:
  • Integral em phi: integral0^2pi dphi = 2pi
  • Integral em theta: integral0^pi sin^2 theta , dtheta = pi2
  • Integral em r: integral0^R r^2 dr = R^33
Então, substituindo de volta:
Q = rho0 cdot R^33 cdot pi2 cdot 2pi = rho0 cdot R^33 cdot pi^2

Passo 7

Agora que temos a carga total Q, podemos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico fora da esfera. Como estamos fora da esfera e a distribuição de carga tem simetria esférica, o campo elétrico é radial e depende apenas da distância r.
Aplicando a Lei de Gauss:
E cdot 4pi r^2 = Qvarepsilon0
Resolvendo para E:
E = Q4pi varepsilon0 r^2

Passo 8

Substituindo a expressão de Q que encontramos:
E = rho0 pi^2 R^33 cdot 4pi varepsilon0 r^2 = rho0 pi R^312 varepsilon0 r^2

Passo 9

Agora, vamos para a parte (b): calcular o campo elétrico dentro da esfera ( r < R). Aqui, precisamos considerar apenas a carga dentro de um raio r menor que R.
A carga interna Qinterno é:
Qinterno = rho0 cdot r^33 cdot pi2 cdot 2pi = rho0 cdot r^33 cdot pi^2

Passo 10

Aplicando novamente a Lei de Gauss para r < R:
E cdot 4pi r^2 = Qinternovarepsilon0
Resolvendo para E:
E = Qinterno4pi varepsilon0 r^2 = rho0 pi^2 r^33 cdot 4pi varepsilon0 r^2 = rho0 pi r12 varepsilon0

Resposta

(a) O campo elétrico fora da esfera ( r > R) é:
E = rho0 pi R^312 varepsilon0 r^2 r
(b) O campo elétrico dentro da esfera ( r < R) é:
E = rho0 pi r12 varepsilon0 r

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