Uma esfera sólida de raio tem uma densidade de carga não uniforme que varia com de acordo com a expressão , onde é uma constante e é medida a partir do centro da esfera. Utilizando a lei de Gauss calcule (a) o campo elétrico fora da esfera ( ) e (b) o campo elétrico dentro da esfera .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma esfera sólida de raio com uma densidade de carga que não é constante. A densidade de carga varia com a posição dentro da esfera de acordo com a expressão , onde é uma constante e é o ângulo polar em coordenadas esféricas. Nosso objetivo é usar a Lei de Gauss para calcular:
(a) O campo elétrico fora da esfera ( )
(b) O campo elétrico dentro da esfera ( )
Para resolver isso, vamos precisar entender a Lei de Gauss e como ela se aplica a distribuições de carga com simetrias específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica :
Essa lei é super útil quando a distribuição de carga tem alguma simetria, como esférica, cilíndrica ou planar.

Passo 3

Agora, vamos analisar a simetria do problema. A densidade de carga depende apenas do ângulo e não da distância . Isso sugere que a distribuição de carga tem simetria esférica, mas não é uniforme. No entanto, a dependência de pode complicar as coisas, já que a simetria esférica completa não está presente.

Passo 4

Vamos começar com a parte (a): calcular o campo elétrico fora da esfera ( ). Para isso, precisamos encontrar a carga total dentro da esfera.
A carga total é a integral da densidade de carga sobre o volume da esfera:
Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é .

Passo 5

Substituindo na integral:
Isso simplifica para:

Passo 6

Calculando cada integral separadamente:
  • Integral em :
  • Integral em :
  • Integral em :
Então, substituindo de volta:

Passo 7

Agora que temos a carga total , podemos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico fora da esfera. Como estamos fora da esfera e a distribuição de carga tem simetria esférica, o campo elétrico é radial e depende apenas da distância .
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para :

Passo 8

Substituindo a expressão de que encontramos:

Passo 9

Agora, vamos para a parte (b): calcular o campo elétrico dentro da esfera ( ). Aqui, precisamos considerar apenas a carga dentro de um raio menor que .
A carga interna é:

Passo 10

Aplicando novamente a Lei de Gauss para :
Resolvendo para :

Resposta

(a) O campo elétrico fora da esfera ( ) é:
(b) O campo elétrico dentro da esfera ( ) é:

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Uma esfera sólida de raio tem uma densidade de carga não uniforme que varia com de acordo com a expressão , onde é uma constante e é medida a partir do centro da esfera. (a) Mostre que o campo elétrico fora da esfera ( ) é . (b) Mostre que o campo elétrico dentro da esfera é .
Um cilindro dielétrico infinito de raio , localizado no vácuo, tem polarização dada por
onde é uma constante e é a distância radial até o eixo de simetria do cilindro. A permissividade elétrica do vácuo é . Usando coordenadas cilíndricas, calcule:
b) O vetor campo elétrico nas regiões (i) e (ii) .
Considere um cilindro longo de raio , que possui em seu interior uma densidade de cargas , onde é uma constante positiva, sendo a distância medida desde o eixo do cilindro. Mostre que (a) a distância a partir do eixo onde o campo é máximo vale o maior valor do campo em módulo é .
Um fio cilíndrico condutor infinito de raio , localizado no vácuo, apresenta uma densidade de corrente elétricade de modo que , na região e para . Onde é uma constante e é a distância radial até o eixo de simetria do cilindro. A permissividade magnética do vácuo é . Usando coordenas cilíndricas e considerando que , calcule o potencial vetor magnético na região .