Uma esfera sólida de raio
tem uma densidade de carga não uniforme que varia com
de acordo com a expressão
, onde
é uma constante e
é medida a partir do centro da esfera. Utilizando a lei de Gauss calcule (a) o campo elétrico fora da esfera (
) e (b) o campo elétrico dentro da esfera
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma esfera sólida de raio
com uma densidade de carga que não é constante. A densidade de carga varia com a posição dentro da esfera de acordo com a expressão
, onde
é uma constante e
é o ângulo polar em coordenadas esféricas. Nosso objetivo é usar a Lei de Gauss para calcular:
(a) O campo elétrico fora da esfera ( )
(b) O campo elétrico dentro da esfera ( )
(a) O campo elétrico fora da esfera (
(b) O campo elétrico dentro da esfera (
Para resolver isso, vamos precisar entender a Lei de Gauss e como ela se aplica a distribuições de carga com simetrias específicas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica
:
Essa lei é super útil quando a distribuição de carga tem alguma simetria, como esférica, cilíndrica ou planar.
Passo 3
Agora, vamos analisar a simetria do problema. A densidade de carga
depende apenas do ângulo
e não da distância
. Isso sugere que a distribuição de carga tem simetria esférica, mas não é uniforme. No entanto, a dependência de
pode complicar as coisas, já que a simetria esférica completa não está presente.
Passo 4
Vamos começar com a parte (a): calcular o campo elétrico fora da esfera (
). Para isso, precisamos encontrar a carga total dentro da esfera.
A carga total
é a integral da densidade de carga sobre o volume da esfera:
Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é
.
Passo 5
Substituindo
na integral:
Isso simplifica para:
Passo 6
Calculando cada integral separadamente:
- Integral em
: - Integral em
: - Integral em
:
Então, substituindo de volta:
Passo 7
Agora que temos a carga total
, podemos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico fora da esfera. Como estamos fora da esfera e a distribuição de carga tem simetria esférica, o campo elétrico é radial e depende apenas da distância
.
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para
:
Passo 8
Substituindo a expressão de
que encontramos:
Passo 9
Agora, vamos para a parte (b): calcular o campo elétrico dentro da esfera (
). Aqui, precisamos considerar apenas a carga dentro de um raio
menor que
.
A carga interna
é:
Passo 10
Aplicando novamente a Lei de Gauss para
:
Resolvendo para
:
Resposta
(a) O campo elétrico fora da esfera (
) é:
(b) O campo elétrico dentro da esfera (
) é:
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Uma esfera sólida de raio
tem uma densidade de carga não uniforme que varia com
de acordo com a expressão
, onde
é uma constante e
é medida a partir do centro da esfera. (a) Mostre que o campo elétrico fora da esfera (
) é
. (b) Mostre que o campo elétrico dentro da esfera
é
.
Um cilindro dielétrico infinito de raio
, localizado no vácuo, tem polarização dada por
onde
é uma constante e
é a distância radial até o eixo de simetria do cilindro. A permissividade elétrica do vácuo é
. Usando coordenadas cilíndricas, calcule:
b) O vetor campo elétrico nas regiões (i)
e (ii)
.
b) O vetor campo elétrico
Considere um cilindro longo de raio
, que possui em seu interior uma densidade de cargas
, onde
é uma constante positiva, sendo
a distância medida desde o eixo do cilindro. Mostre que (a) a distância a partir do eixo onde o campo é máximo vale
o maior valor do campo em módulo é
.
Um fio cilíndrico condutor infinito de raio
, localizado no vácuo, apresenta uma densidade de corrente elétricade de modo que
, na região
e
para
. Onde
é uma constante e
é a distância radial até o eixo de simetria do cilindro. A permissividade magnética do vácuo é
. Usando coordenas cilíndricas e considerando que
, calcule o potencial vetor magnético na região
.