Três finas cascas esféricas condutoras e concêntricas têm raios , e onde . Inicialmente a casca interna está descarregada, a casca intermediária tem uma carga positiva e a casca externa tem uma carga . a) Determine o potencial elétrico de cada uma das três cascas. Se agora, as cascas interna e externa forem conectadas por um fio condutor que está isolado e que passa através de um pequeno orifício pela esfera intermediária, b) qual é o potencial das três cascas e c) qual é a carga final em cada uma?
Resp.
onde

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre potenciais elétricos em cascas esféricas concêntricas. A gente vai mexer com conceitos de eletrostática, como potencial elétrico, carga em condutores e distribuição de cargas. Precisamos usar a Lei de Gauss e as fórmulas de potencial para esferas. Vamos passo a passo para entender tudo direitinho!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a situação inicial. Temos três cascas esféricas condutoras, todas com o mesmo centro, mas com raios diferentes: . As cargas estão distribuídas assim:
  • Casca interna (raio ): descarregada, ou seja, sem carga.
  • Casca intermediária (raio ): tem uma carga positiva .
  • Casca externa (raio ): tem uma carga negativa .
Como são condutoras e concêntricas, sabemos que as cargas em cada casca ficam distribuídas apenas nas superfícies externas e internas das cascas, respeitando as regras de equilíbrio eletrostático.

Passo 3

Vamos calcular o potencial elétrico em cada uma das cascas. Lembrando que o potencial elétrico em um ponto devido a uma carga a uma distância é dado por:
onde .
Como temos várias cascas, devemos somar os potenciais causados por cada carga presente.

Passo 4

Vamos calcular o potencial na casca interna ( ). Como ela está descarregada inicialmente, mas está dentro da casca intermediária que tem carga , o potencial na casca interna será influenciado pela casca intermediária e externa.
Usando a Lei de Gauss, para a casca interna (raio ), a carga dentro dela é zero, então a contribuição ao potencial vem apenas das cargas nas cascas intermediária e externa.
Portanto:

Passo 5

Agora, o potencial na casca intermediária ( ). Como a casca intermediária é um condutor, o potencial é constante em toda a sua extensão. O potencial na casca intermediária é igual ao potencial na casca interna, pois ambas estão no mesmo ponto eletrostático.
Portanto:

Passo 6

Por fim, o potencial na casca externa ( ). A casca externa tem carga e está na superfície externa das cascas. O potencial na casca externa é influenciado pelas cargas internas e por ela mesma.
Considerando a contribuição das cargas internas ( na casca intermediária) e a própria carga na casca externa:
No entanto, a casca externa sendo condutora e isolada garante que seu potencial seja zero em relação ao infinito (referência). Portanto, ajustando os potenciais, temos:

Resposta

a) Os potenciais elétricos das três cascas são:

Exercícios relacionados

  1. Duas cargas pontuais de estão localizadas no eixo . Um está , e o outro está em . (a) Determine o campo elétrico no eixo . (b) Calcule a força elétrica em uma carga de colocada no eixo .
a) Quanta carga está na superfície de um condutor esférico isolado que tem raio e está carregado com ? b) Qual é a energia potencial eletrostática deste condutor? (Resp. a) )
-6 Qual é o valor absoluto de uma carga pontual capaz de criar um campo elétrico de 1,00 N/C em um ponto a de distância?
Um cilindro dielétrico infinito de raio , localizado no vácuo, tem polarização dada por
onde é uma constante e é a distância radial até o eixo de simetria do cilindro. A permissividade elétrica do vácuo é . Usando coordenadas cilíndricas, calcule:
b) O vetor campo elétrico nas regiões (i) e (ii) .