Três finas cascas esféricas condutoras e concêntricas têm raios
, e
onde
. Inicialmente a casca interna está descarregada, a casca intermediária tem uma carga positiva
e a casca externa tem uma carga
. a) Determine o potencial elétrico de cada uma das três cascas. Se agora, as cascas interna e externa forem conectadas por um fio condutor que está isolado e que passa através de um pequeno orifício pela esfera intermediária, b) qual é o potencial das três cascas e c) qual é a carga final em cada uma?
Resp.
onde
Resp.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre potenciais elétricos em cascas esféricas concêntricas. A gente vai mexer com conceitos de eletrostática, como potencial elétrico, carga em condutores e distribuição de cargas. Precisamos usar a Lei de Gauss e as fórmulas de potencial para esferas. Vamos passo a passo para entender tudo direitinho!
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a situação inicial. Temos três cascas esféricas condutoras, todas com o mesmo centro, mas com raios diferentes:
. As cargas estão distribuídas assim:
- Casca interna (raio
): descarregada, ou seja, sem carga. - Casca intermediária (raio
): tem uma carga positiva . - Casca externa (raio
): tem uma carga negativa .
Como são condutoras e concêntricas, sabemos que as cargas em cada casca ficam distribuídas apenas nas superfícies externas e internas das cascas, respeitando as regras de equilíbrio eletrostático.
Passo 3
Vamos calcular o potencial elétrico em cada uma das cascas. Lembrando que o potencial elétrico
em um ponto devido a uma carga
a uma distância
é dado por:
onde
.
Como temos várias cascas, devemos somar os potenciais causados por cada carga presente.
Passo 4
Vamos calcular o potencial na casca interna (
). Como ela está descarregada inicialmente, mas está dentro da casca intermediária que tem carga
, o potencial na casca interna será influenciado pela casca intermediária e externa.
Usando a Lei de Gauss, para a casca interna (raio
), a carga dentro dela é zero, então a contribuição ao potencial vem apenas das cargas nas cascas intermediária e externa.
Portanto:
Passo 5
Agora, o potencial na casca intermediária (
). Como a casca intermediária é um condutor, o potencial é constante em toda a sua extensão. O potencial na casca intermediária é igual ao potencial na casca interna, pois ambas estão no mesmo ponto eletrostático.
Portanto:
Passo 6
Por fim, o potencial na casca externa (
). A casca externa tem carga
e está na superfície externa das cascas. O potencial na casca externa é influenciado pelas cargas internas e por ela mesma.
Considerando a contribuição das cargas internas (
na casca intermediária) e a própria carga
na casca externa:
No entanto, a casca externa sendo condutora e isolada garante que seu potencial seja zero em relação ao infinito (referência). Portanto, ajustando os potenciais, temos:
Resposta
a) Os potenciais elétricos das três cascas são: