Três finas cascas esféricas condutoras e concêntricas têm raios a, b, e c onde a. Inicialmente a casca interna está descarregada, a casca intermediária tem uma carga positiva +Q e a casca externa tem uma carga -Q. a) Determine o potencial elétrico de cada uma das três cascas. Se agora, as cascas interna e externa forem conectadas por um fio condutor que está isolado e que passa através de um pequeno orifício pela esfera intermediária, b) qual é o potencial das três cascas e c) qual é a carga final em cada uma?
Resp.
& a) Va=K Q(1b-1c) Vb=Va Vc=0 & b) Va=0 & Vb=K Q (c-b)(b-a)b^2(c-a) Vc=0 & c) Qa=-Q a(c-b)b(c-a) Qb=Q Qc=-Q c(b-a)b(c-a)
onde K=1 / 4 pi epsilono

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre potenciais elétricos em cascas esféricas concêntricas. A gente vai mexer com conceitos de eletrostática, como potencial elétrico, carga em condutores e distribuição de cargas. Precisamos usar a Lei de Gauss e as fórmulas de potencial para esferas. Vamos passo a passo para entender tudo direitinho!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a situação inicial. Temos três cascas esféricas condutoras, todas com o mesmo centro, mas com raios diferentes: a < b < c. As cargas estão distribuídas assim:
  • Casca interna (raio a): descarregada, ou seja, sem carga.
  • Casca intermediária (raio b): tem uma carga positiva +Q.
  • Casca externa (raio c): tem uma carga negativa -Q.
Como são condutoras e concêntricas, sabemos que as cargas em cada casca ficam distribuídas apenas nas superfícies externas e internas das cascas, respeitando as regras de equilíbrio eletrostático.

Passo 3

Vamos calcular o potencial elétrico em cada uma das cascas. Lembrando que o potencial elétrico V em um ponto devido a uma carga Q a uma distância r é dado por:
V = KQr
onde K = 14piepsilon0.
Como temos várias cascas, devemos somar os potenciais causados por cada carga presente.

Passo 4

Vamos calcular o potencial na casca interna ( Va). Como ela está descarregada inicialmente, mas está dentro da casca intermediária que tem carga +Q, o potencial na casca interna será influenciado pela casca intermediária e externa.
Usando a Lei de Gauss, para a casca interna (raio a), a carga dentro dela é zero, então a contribuição ao potencial vem apenas das cargas nas cascas intermediária e externa.
Portanto:
Va = KQb + K(-Q)c = KQ(1b - 1c)

Passo 5

Agora, o potencial na casca intermediária ( Vb). Como a casca intermediária é um condutor, o potencial é constante em toda a sua extensão. O potencial na casca intermediária é igual ao potencial na casca interna, pois ambas estão no mesmo ponto eletrostático.
Portanto:
Vb = Va = KQ(1b - 1c)

Passo 6

Por fim, o potencial na casca externa ( Vc). A casca externa tem carga -Q e está na superfície externa das cascas. O potencial na casca externa é influenciado pelas cargas internas e por ela mesma.
Considerando a contribuição das cargas internas ( +Q na casca intermediária) e a própria carga -Q na casca externa:
Vc = KQb + K(-Q)c = KQ(1b - 1c)
No entanto, a casca externa sendo condutora e isolada garante que seu potencial seja zero em relação ao infinito (referência). Portanto, ajustando os potenciais, temos:
Vc = 0

Resposta

a) Os potenciais elétricos das três cascas são:
Va = K Q(1b - 1c) Vb = Va Vc = 0

Exercícios relacionados