Considere o disco de raio , que possui uma densidade superficial de cargas , onde é a distância até o centro do disco e é uma constante. Mostre que potencial devido ao disco no eixo .
Passo 1
Vamos lá! A gente tem um disco com raio que tem uma distribuição de carga superficial dada por . Nosso objetivo é encontrar o potencial elétrico no eixo acima do disco (onde ). Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente a fórmula para o potencial gerado por uma distribuição de carga.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico devido a uma distribuição de carga superficial é dado por:
Aqui, é a permissividade do vácuo, é o ponto onde queremos calcular o potencial (no nosso caso, no eixo ), e varia sobre a área do disco onde a carga está distribuída.
Passo 3
Como estamos calculando o potencial no eixo , a distância entre um ponto no eixo e um ponto no disco em coordenadas cilíndricas é dada por:
Então, nossa expressão para o potencial fica:
Aqui, é o elemento de área em coordenadas cilíndricas.
Passo 4
Vamos simplificar a integral. Primeiro, integramos em relação a :
Então, o potencial fica:
Simplificando os constantes:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral:
Para isso, fazemos uma substituição. Seja , então , ou seja, . Reescrevendo a integral em termos de :
Mas , então:
Integrando termo a termo:
Voltando para :
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração de a :
Simplificando:
Factorizando:
Passo 7
Então, substituindo de volta na expressão para o potencial:
No entanto, notamos que isso não corresponde exatamente à expressão que queremos mostrar. Isso sugere que talvez tenhamos simplificado demais ou perdido um termo durante a integração. Vamos revisar rapidamente a integração.
Passo 8
Reavaliando a integral:
Podemos resolver usando a substituição , mas parece que houve um erro na etapa anterior. Na verdade, a integral correta resulta em: