Considere o disco de raio , que possui uma densidade superficial de cargas , onde é a distância até o centro do disco e é uma constante. Mostre que potencial devido ao disco no eixo .
Passo 1
Vamos lá! A gente tem um disco com raio R que tem uma distribuição de carga superficial dada por sigma(r) = C r^2. Nosso objetivo é encontrar o potencial elétrico V no eixo z acima do disco (onde z > 0). Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente a fórmula para o potencial gerado por uma distribuição de carga.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico V devido a uma distribuição de carga superficial sigma é dado por:
V = 14pi varepsilon0 integral sigma|r - r'| , dA'
Aqui, varepsilon0 é a permissividade do vácuo, r é o ponto onde queremos calcular o potencial (no nosso caso, no eixo z), e r' varia sobre a área do disco onde a carga está distribuída.
Passo 3
Como estamos calculando o potencial no eixo z, a distância entre um ponto no eixo z e um ponto no disco em coordenadas cilíndricas (r, phi, 0) é dada por:
|r - r'| = raizr^2 + z^2
Então, nossa expressão para o potencial fica:
V = 14pi varepsilon0 integral0^R integral0^2pi C r^2raizr^2 + z^2 , r , dphi , dr
Aqui, r , dphi , dr é o elemento de área em coordenadas cilíndricas.
Passo 4
Vamos simplificar a integral. Primeiro, integramos em relação a phi:
integral0^2pi dphi = 2pi
Então, o potencial fica:
V = 14pi varepsilon0 cdot 2pi C integral0^R r^3raizr^2 + z^2 , dr
Simplificando os constantes:
V = C2 varepsilon0 integral0^R r^3raizr^2 + z^2 , dr
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral:
integral r^3raizr^2 + z^2 , dr
Para isso, fazemos uma substituição. Seja u = r^2 + z^2, então du = 2r , dr, ou seja, r , dr = du2. Reescrevendo a integral em termos de u:
integral r^3raizu cdot du2
Mas r^2 = u - z^2, então:
12 integral (u - z^2) raizu - z^2raizu , du = 12 integral u^3/2 - z^2 u^1/2raizu , du = 12 integral (u - z^2) , du
Então, substituindo de volta na expressão para o potencial:
V = C2 varepsilon0 cdot R^44 = C R^48 varepsilon0
No entanto, notamos que isso não corresponde exatamente à expressão que queremos mostrar. Isso sugere que talvez tenhamos simplificado demais ou perdido um termo durante a integração. Vamos revisar rapidamente a integração.
Passo 8
Reavaliando a integral:
integral0^R r^3raizr^2 + z^2 , dr
Podemos resolver usando a substituição u = r^2 + z^2, mas parece que houve um erro na etapa anterior. Na verdade, a integral correta resulta em: