Um fio cilíndrico condutor infinito de raio
, localizado no vácuo, apresenta uma densidade de corrente elétricade de modo que
, na região
e
para
. Onde
é uma constante e
é a distância radial até o eixo de simetria do cilindro. A permissividade magnética do vácuo é
. Usando coordenas cilíndricas e considerando que
, calcule o potencial vetor magnético na região
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular o potencial vetor magnético
na região
de um fio cilíndrico condutor infinito. A gente tá lidando com eletromagnetismo, mais especificamente com magnetostática, que estuda campos magnéticos estáticos causados por correntes constantes. Para resolver isso, vamos precisar usar a relação entre a densidade de corrente e o potencial vetor magnético, além de entender um pouco sobre coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o potencial vetor magnético
está relacionado com a densidade de corrente
pela seguinte equação:
Aqui,
é a permissividade magnética do vácuo,
é o ponto onde estamos calculando
, e
varia sobre todo o volume onde a corrente está presente.
Passo 3
Como temos simetria cilíndrica e a corrente só está presente para
, podemos simplificar a integral. Sabemos que
, onde
é a direção do eixo cilíndrico. Devido à simetria, o potencial vetor
terá apenas a componente
, ou seja,
.
Passo 4
Agora, vamos expressar a distância
em coordenadas cilíndricas. Usando coordenadas cilíndricas, temos:
Mas como a corrente é simétrica, a integral sobre o ângulo
vai simplificar as coisas. Vamos integrar apenas em
de 0 a
e considerar a simetria para simplificar a expressão.
Passo 5
Fazendo a integração e considerando que
depende apenas de
, acabamos com:
Simplificando a integral:
Passo 6
Fazendo a substituição
,
, a integral fica:
Integrando termo a termo:
Calculando as integrais:
Passo 7
Simplificando a expressão final:
Essa é a expressão para o potencial vetor magnético na região
.
Resposta
O potencial vetor magnético na região
é dado por: