Um fio cilíndrico condutor infinito de raio , localizado no vácuo, apresenta uma densidade de corrente elétricade de modo que , na região e para . Onde é uma constante e é a distância radial até o eixo de simetria do cilindro. A permissividade magnética do vácuo é . Usando coordenas cilíndricas e considerando que , calcule o potencial vetor magnético na região .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular o potencial vetor magnético na região de um fio cilíndrico condutor infinito. A gente tá lidando com eletromagnetismo, mais especificamente com magnetostática, que estuda campos magnéticos estáticos causados por correntes constantes. Para resolver isso, vamos precisar usar a relação entre a densidade de corrente e o potencial vetor magnético, além de entender um pouco sobre coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o potencial vetor magnético está relacionado com a densidade de corrente pela seguinte equação:
Aqui, é a permissividade magnética do vácuo, é o ponto onde estamos calculando , e varia sobre todo o volume onde a corrente está presente.
Passo 3
Como temos simetria cilíndrica e a corrente só está presente para , podemos simplificar a integral. Sabemos que , onde é a direção do eixo cilíndrico. Devido à simetria, o potencial vetor terá apenas a componente , ou seja, .
Passo 4
Agora, vamos expressar a distância em coordenadas cilíndricas. Usando coordenadas cilíndricas, temos:
Mas como a corrente é simétrica, a integral sobre o ângulo vai simplificar as coisas. Vamos integrar apenas em de 0 a e considerar a simetria para simplificar a expressão.
Passo 5
Fazendo a integração e considerando que depende apenas de , acabamos com:
Simplificando a integral:
Passo 6
Fazendo a substituição , , a integral fica:
Integrando termo a termo:
Calculando as integrais:
Passo 7
Simplificando a expressão final:
Essa é a expressão para o potencial vetor magnético na região .