Um fio cilíndrico condutor infinito de raio a, localizado no vácuo, apresenta uma densidade de corrente elétricade de modo que J(r)=k r^2 k, na região r e J(r)=0 para r>a. Onde k é uma constante e r é a distância radial até o eixo de simetria do cilindro. A permissividade magnética do vácuo é mu0. Usando coordenas cilíndricas e considerando que Az(r=0)=0, calcule o potencial vetor magnético na região r.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular o potencial vetor magnético na região de um fio cilíndrico condutor infinito. A gente tá lidando com eletromagnetismo, mais especificamente com magnetostática, que estuda campos magnéticos estáticos causados por correntes constantes. Para resolver isso, vamos precisar usar a relação entre a densidade de corrente e o potencial vetor magnético, além de entender um pouco sobre coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o potencial vetor magnético A(r) = mu04pi integral J(r')|r - r'| dV' está relacionado com a densidade de corrente pela seguinte equação:
Aqui, é a permissividade magnética do vácuo, é o ponto onde estamos calculando , e varia sobre todo o volume onde a corrente está presente.

Passo 3

Como temos simetria cilíndrica e a corrente só está presente para , podemos simplificar a integral. Sabemos que , onde é a direção do eixo cilíndrico. Devido à simetria, o potencial vetor terá apenas a componente , ou seja, .

Passo 4

Agora, vamos expressar a distância |r - r'| = raizr^2 + r'^2 - 2rr'cos(phi - phi') em coordenadas cilíndricas. Usando coordenadas cilíndricas, temos:
Mas como a corrente é simétrica, a integral sobre o ângulo vai simplificar as coisas. Vamos integrar apenas em de 0 a e considerar a simetria para simplificar a expressão.

Passo 5

Fazendo a integração e considerando que Az(r) = mu0 k4pi integral0^a r'^2 cdot 2pi r' dr'raizr^2 + r'^2 depende apenas de Az(r) = mu0 k2 integral0^a r'^3 dr'raizr^2 + r'^2 , acabamos com:
Simplificando a integral:

Passo 6

Fazendo a substituição Az(r) = mu0 k2 cdot 12 integralr^2^r^2 + a^2 (u - r^2)raizu du , Az(r) = mu0 k4 [ integralr^2^r^2 + a^2 u^1/2 du - r^2 integralr^2^r^2 + a^2 u^-1/2 du ] , a integral fica:
Az(r) = mu0 k4 [ 23 ( (r^2 + a^2)^3/2 - r^3 ) - 2r^2 ( raizr^2 + a^2 - r ) ]
Integrando termo a termo:
Calculando as integrais:

Passo 7

Simplificando a expressão final:
Az(r) = mu0 k6 ( (r^2 + a^2)^3/2 - r^3 ) - mu0 k r^22 ( raizr^2 + a^2 - r )
Essa é a expressão para o potencial vetor magnético na região .

Resposta

O potencial vetor magnético na região Az(r) = mu0 k6 ( (r^2 + a^2)^3/2 - r^3 ) - mu0 k r^22 ( raizr^2 + a^2 - r ) é dado por:

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