Um fio cilíndrico condutor infinito de raio , localizado no vácuo, apresenta uma densidade de corrente elétricade de modo que , na região e para . Onde é uma constante e é a distância radial até o eixo de simetria do cilindro. A permissividade magnética do vácuo é . Usando coordenas cilíndricas e considerando que , calcule o potencial vetor magnético na região .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular o potencial vetor magnético na região de um fio cilíndrico condutor infinito. A gente tá lidando com eletromagnetismo, mais especificamente com magnetostática, que estuda campos magnéticos estáticos causados por correntes constantes. Para resolver isso, vamos precisar usar a relação entre a densidade de corrente e o potencial vetor magnético, além de entender um pouco sobre coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o potencial vetor magnético está relacionado com a densidade de corrente pela seguinte equação:
Aqui, é a permissividade magnética do vácuo, é o ponto onde estamos calculando , e varia sobre todo o volume onde a corrente está presente.

Passo 3

Como temos simetria cilíndrica e a corrente só está presente para , podemos simplificar a integral. Sabemos que , onde é a direção do eixo cilíndrico. Devido à simetria, o potencial vetor terá apenas a componente , ou seja, .

Passo 4

Agora, vamos expressar a distância em coordenadas cilíndricas. Usando coordenadas cilíndricas, temos:
Mas como a corrente é simétrica, a integral sobre o ângulo vai simplificar as coisas. Vamos integrar apenas em de 0 a e considerar a simetria para simplificar a expressão.

Passo 5

Fazendo a integração e considerando que depende apenas de , acabamos com:
Simplificando a integral:

Passo 6

Fazendo a substituição , , a integral fica:
Integrando termo a termo:
Calculando as integrais:

Passo 7

Simplificando a expressão final:
Essa é a expressão para o potencial vetor magnético na região .

Resposta

O potencial vetor magnético na região é dado por:

Exercícios relacionados

Considere um cilindro longo de raio , que possui em seu interior uma densidade de cargas , onde é uma constante positiva, sendo a distância medida desde o eixo do cilindro. Mostre que (a) a distância a partir do eixo onde o campo é máximo vale o maior valor do campo em módulo é .
Uma esfera sólida de raio tem uma densidade de carga não uniforme que varia com de acordo com a expressão , onde é uma constante e é medida a partir do centro da esfera. Utilizando a lei de Gauss calcule (a) o campo elétrico fora da esfera ( ) e (b) o campo elétrico dentro da esfera .
Considere o disco de raio , que possui uma densidade superficial de cargas , onde é a distância até o centro do disco e é uma constante. Mostre que potencial devido ao disco no eixo .
Um cilindro dielétrico infinito de raio , localizado no vácuo, tem polarização dada por
onde é uma constante e é a distância radial até o eixo de simetria do cilindro. A permissividade elétrica do vácuo é . Usando coordenadas cilíndricas, calcule:
c) O vetor deslocamento elétrico nas regiões (i) e (ii) .