Um cilindro dielétrico infinito de raio R possui distribuição volumétrica de cargas constante. Calcule o módulo do campo elétrico para pontos exteriores e interiores ao cilindro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o campo elétrico de um cilindro dielétrico infinito com carga distribuída de maneira constante. A gente vai usar a Lei de Gauss da eletrostática, que é super útil pra calcular campos elétricos em situações com simetria. Precisamos calcular o campo elétrico tanto dentro quanto fora do cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar um ponto dentro do cilindro, ou seja, onde a distância ao eixo do cilindro, chamada de , é menor que o raio do cilindro ( ). Para usar a Lei de Gauss, escolhemos uma superfície gaussiana que é um cilindro coaxial com o cilindro carregado, com raio e comprimento .

Passo 3

A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico através da superfície gaussiana é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo PhiE = oint E cdot dA = Qinternovarepsilon0 . A fórmula é:
Como o campo elétrico é constante na superfície gaussiana e perpendicular a ela, a integral fica .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a carga interna Qinterno = rho cdot pi r^2 L . A densidade volumétrica de carga, que é a carga por unidade de volume, é constante e chamamos de . O volume do cilindro interno é , então:

Passo 5

Substituindo na Lei de Gauss:
E cdot 2pi r L = rho cdot pi r^2 Lvarepsilon0
Simplificando os termos:
E = rho r2 varepsilon0
Esse é o campo elétrico dentro do cilindro.

Passo 6

Agora, vamos calcular o campo elétrico fora do cilindro, ou seja, quando Qinterno = rho cdot pi R^2 L . A gente usa a mesma ideia, mas agora toda a carga do cilindro está dentro da nossa superfície gaussiana. Então, a carga interna é:

Passo 7

Aplicando a Lei de Gauss novamente:
E cdot 2pi r L = rho cdot pi R^2 Lvarepsilon0
Simplificando:
E = rho R^22 varepsilon0 r
Esse é o campo elétrico fora do cilindro.

Resposta

O módulo do campo elétrico é dado por:
E(r) = rho , r2, varepsilon0 & para r <= R rho , R^22, varepsilon0 , r & para r > R

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