Um cilindro dielétrico infinito de raio possui distribuição volumétrica de cargas constante. Calcule o módulo do campo elétrico para pontos exteriores e interiores ao cilindro.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o campo elétrico de um cilindro dielétrico infinito com carga distribuída de maneira constante. A gente vai usar a Lei de Gauss da eletrostática, que é super útil pra calcular campos elétricos em situações com simetria. Precisamos calcular o campo elétrico tanto dentro quanto fora do cilindro.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar um ponto dentro do cilindro, ou seja, onde a distância ao eixo do cilindro, chamada de , é menor que o raio do cilindro ( ). Para usar a Lei de Gauss, escolhemos uma superfície gaussiana que é um cilindro coaxial com o cilindro carregado, com raio e comprimento .
Passo 3
A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico através da superfície gaussiana é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo . A fórmula é:
Como o campo elétrico é constante na superfície gaussiana e perpendicular a ela, a integral fica .
Passo 4
Agora, vamos encontrar a carga interna . A densidade volumétrica de carga, que é a carga por unidade de volume, é constante e chamamos de . O volume do cilindro interno é , então:
Passo 5
Substituindo na Lei de Gauss:
Simplificando os termos:
Esse é o campo elétrico dentro do cilindro.
Passo 6
Agora, vamos calcular o campo elétrico fora do cilindro, ou seja, quando . A gente usa a mesma ideia, mas agora toda a carga do cilindro está dentro da nossa superfície gaussiana. Então, a carga interna é: