Um cilindro dielétrico infinito de raio possui distribuição volumétrica de cargas constante. Calcule o módulo do campo elétrico para pontos exteriores e interiores ao cilindro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o campo elétrico de um cilindro dielétrico infinito com carga distribuída de maneira constante. A gente vai usar a Lei de Gauss da eletrostática, que é super útil pra calcular campos elétricos em situações com simetria. Precisamos calcular o campo elétrico tanto dentro quanto fora do cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar um ponto dentro do cilindro, ou seja, onde a distância ao eixo do cilindro, chamada de , é menor que o raio do cilindro ( ). Para usar a Lei de Gauss, escolhemos uma superfície gaussiana que é um cilindro coaxial com o cilindro carregado, com raio e comprimento .

Passo 3

A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico através da superfície gaussiana é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo . A fórmula é:
Como o campo elétrico é constante na superfície gaussiana e perpendicular a ela, a integral fica .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a carga interna . A densidade volumétrica de carga, que é a carga por unidade de volume, é constante e chamamos de . O volume do cilindro interno é , então:

Passo 5

Substituindo na Lei de Gauss:
Simplificando os termos:
Esse é o campo elétrico dentro do cilindro.

Passo 6

Agora, vamos calcular o campo elétrico fora do cilindro, ou seja, quando . A gente usa a mesma ideia, mas agora toda a carga do cilindro está dentro da nossa superfície gaussiana. Então, a carga interna é:

Passo 7

Aplicando a Lei de Gauss novamente:
Simplificando:
Esse é o campo elétrico fora do cilindro.

Resposta

O módulo do campo elétrico é dado por:

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e argumentos consistentes para encontrar as Equações de Laplace e Poisson.
OBS:
Obs: Existe simetria azimutal, isto é, o potencial independe da variável . Saiba também, que a densidade de corrente pode ser escrita como .
(a) (Valor: 1,0 pt.) Que a resistência entre as duas superfícies verticais e é dada por,
(b) (Valor: .) Que a resistência entre as duas superfícies horizontais e é dada por,
i) Periódicas em ;
ii) Não periódicas em ;
iii) Periódicas em .
Para, . Empregue o método de separação de variáveis e encontre a solução geral do problema.
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