Obs: Existe simetria azimutal, isto é, o potencial independe da variável theta. Saiba também, que a densidade de corrente pode ser escrita como J=sigma E.
(a) (Valor: 1,0 pt.) Que a resistência entre as duas superfícies verticais rho=a e rho=b é dada por,
R=2 ln (ba)sigma pi t
(b) (Valor: 0,54 pt.) Que a resistência entre as duas superfícies horizontais z=0 e z=t é dada por,
R^prime=4 tsigma pi(b^2-a^2)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema com simetria azimutal, ou seja, o potencial elétrico não depende da variável . A densidade de corrente é dada por , onde é a condutividade elétrica e é o campo elétrico. Precisamos calcular a resistência elétrica entre duas superfícies específicas:
(a) entre as superfícies verticais e ,
(b) entre as superfícies horizontais e .
Vamos resolver cada parte passo a passo usando conceitos de eletricidade e matemática.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): calcular a resistência entre as superfícies verticais R = VI e .
Primeiro, lembramos que a resistência elétrica pode ser calculada pela fórmula:
onde é a diferença de potencial e é a corrente elétrica que passa pelo material.

Passo 3

Como o sistema tem simetria azimutal e o potencial não depende de Erho = -dVdrho , podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar os cálculos. A corrente atravessando uma casca cilíndrica de raio e espessura é proporcional à área da casca e ao campo elétrico.
A densidade de corrente é dada por . Em coordenadas cilíndricas, o campo elétrico radial está relacionado à diferença de potencial pela relação:

Passo 4

A corrente I = integrala^b Jrho cdot 2pi rho t , drho que atravessa a área entre I = sigma integrala^b (-dVdrho) 2pi rho t , drho e pode ser calculada integrando a densidade de corrente sobre a área superficial:
Substituindo :

Passo 5

Assumindo que a diferença de potencial V = integrala^b Erho , drho é constante entre as superfícies V = -integrala^b dVdrho , drho = Vb - Va e , podemos integrar a expressão:
Substituindo e rearranjando:
Como estamos calculando a resistência entre e , podemos considerar .

Passo 6

Agora, relacionamos a corrente I = sigma cdot 2pi t integrala^b rhorho , drho = sigma cdot 2pi t integrala^b 1rho , drho com a diferença de potencial I = sigma cdot 2pi t ln(ba) :
Integrando:

Passo 7

Finalmente, substituímos R = Vsigma cdot 2pi t ln(ba) = 2 ln(ba)sigma pi t na fórmula da resistência :

Resposta

A resistência entre as duas superfícies verticais R = 2 ln (ba)sigma pi t e é dada por:

Exercícios relacionados