Obs: Existe simetria azimutal, isto é, o potencial independe da variável
. Saiba também, que a densidade de corrente pode ser escrita como
.
(a) (Valor: 1,0 pt.) Que a resistência entre as duas superfícies verticais
e
é dada por,
(b) (Valor:
.) Que a resistência entre as duas superfícies horizontais
e
é dada por,
(a) (Valor: 1,0 pt.) Que a resistência entre as duas superfícies verticais
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema com simetria azimutal, ou seja, o potencial elétrico não depende da variável
. A densidade de corrente é dada por
, onde
é a condutividade elétrica e
é o campo elétrico. Precisamos calcular a resistência elétrica entre duas superfícies específicas:
(a) entre as superfícies verticais e
,
(b) entre as superfícies horizontais e
.
Vamos resolver cada parte passo a passo usando conceitos de eletricidade e matemática.
(a) entre as superfícies verticais
(b) entre as superfícies horizontais
Vamos resolver cada parte passo a passo usando conceitos de eletricidade e matemática.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): calcular a resistência entre as superfícies verticais
e
.
Primeiro, lembramos que a resistência elétrica
pode ser calculada pela fórmula:
onde
é a diferença de potencial e
é a corrente elétrica que passa pelo material.
Passo 3
Como o sistema tem simetria azimutal e o potencial não depende de
, podemos usar coordenadas cilíndricas
para facilitar os cálculos. A corrente atravessando uma casca cilíndrica de raio
e espessura
é proporcional à área da casca e ao campo elétrico.
A densidade de corrente é dada por
. Em coordenadas cilíndricas, o campo elétrico radial
está relacionado à diferença de potencial
pela relação:
Passo 4
A corrente
que atravessa a área entre
e
pode ser calculada integrando a densidade de corrente sobre a área superficial:
Substituindo
:
Passo 5
Assumindo que a diferença de potencial
é constante entre as superfícies
e
, podemos integrar a expressão:
Substituindo
e rearranjando:
Como estamos calculando a resistência entre
e
, podemos considerar
.
Passo 6
Agora, relacionamos a corrente
com a diferença de potencial
:
Integrando:
Passo 7
Finalmente, substituímos
na fórmula da resistência
:
Resposta
A resistência entre as duas superfícies verticais
e
é dada por:
Exercícios relacionados
A tabela a seguir mostra o comprimento, o diâmetro e a diferença de potencial entre as extremidades de três barras de cobre. Coloque as barras na ordem (a) do módulo do campo elétrico no interior da barra; (b) da densidade de corrente no interior da barra; © da velocidade de deriva dos elétrons, começando pelo maior valor.
Barra | Comprimento | Diâmetro | Diferença de Potencial |
---|---|---|---|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
Três fios de mesmo diâmetro são ligados sucessivamente entre dois pontos mantidos a uma certa diferença de potencial. As resistividades e os comprimentos dos fios são
e
(fio
),
e
(fio
) e
e
(fio
). Coloque os fios na ordem da taxa de conversão de energia elétrica em energia térmica, começando pela maior.
e argumentos consistentes para encontrar as Equações de Laplace e Poisson.
OBS:
OBS:
Um cilindro dielétrico infinito de raio
possui distribuição volumétrica de cargas constante. Calcule o módulo do campo elétrico para pontos exteriores e interiores ao cilindro.