Obs: Existe simetria azimutal, isto é, o potencial independe da variável . Saiba também, que a densidade de corrente pode ser escrita como .
(a) (Valor: 1,0 pt.) Que a resistência entre as duas superfícies verticais e é dada por,
(b) (Valor: .) Que a resistência entre as duas superfícies horizontais e é dada por,

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema com simetria azimutal, ou seja, o potencial elétrico não depende da variável . A densidade de corrente é dada por , onde é a condutividade elétrica e é o campo elétrico. Precisamos calcular a resistência elétrica entre duas superfícies específicas:
(a) entre as superfícies verticais e ,
(b) entre as superfícies horizontais e .
Vamos resolver cada parte passo a passo usando conceitos de eletricidade e matemática.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): calcular a resistência entre as superfícies verticais e .
Primeiro, lembramos que a resistência elétrica pode ser calculada pela fórmula:
onde é a diferença de potencial e é a corrente elétrica que passa pelo material.

Passo 3

Como o sistema tem simetria azimutal e o potencial não depende de , podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar os cálculos. A corrente atravessando uma casca cilíndrica de raio e espessura é proporcional à área da casca e ao campo elétrico.
A densidade de corrente é dada por . Em coordenadas cilíndricas, o campo elétrico radial está relacionado à diferença de potencial pela relação:

Passo 4

A corrente que atravessa a área entre e pode ser calculada integrando a densidade de corrente sobre a área superficial:
Substituindo :

Passo 5

Assumindo que a diferença de potencial é constante entre as superfícies e , podemos integrar a expressão:
Substituindo e rearranjando:
Como estamos calculando a resistência entre e , podemos considerar .

Passo 6

Agora, relacionamos a corrente com a diferença de potencial :
Integrando:

Passo 7

Finalmente, substituímos na fórmula da resistência :

Resposta

A resistência entre as duas superfícies verticais e é dada por:

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A tabela a seguir mostra o comprimento, o diâmetro e a diferença de potencial entre as extremidades de três barras de cobre. Coloque as barras na ordem (a) do módulo do campo elétrico no interior da barra; (b) da densidade de corrente no interior da barra; © da velocidade de deriva dos elétrons, começando pelo maior valor.
Barra Comprimento Diâmetro Diferença de Potencial
1
2
3
Três fios de mesmo diâmetro são ligados sucessivamente entre dois pontos mantidos a uma certa diferença de potencial. As resistividades e os comprimentos dos fios são e (fio ), e (fio ) e e (fio ). Coloque os fios na ordem da taxa de conversão de energia elétrica em energia térmica, começando pela maior.
e argumentos consistentes para encontrar as Equações de Laplace e Poisson.
OBS:
Um cilindro dielétrico infinito de raio possui distribuição volumétrica de cargas constante. Calcule o módulo do campo elétrico para pontos exteriores e interiores ao cilindro.