i) Periódicas em x;
ii) Não periódicas em y;
iii) Periódicas em z.
nabla^2 Phi(x, y, z) & =0 (partial^2partial x^2+partial^2partial y^2+partial^2partial z^2) Phi(x, y, z) & =0
Para, Phi(x, y, z)=f(x) g(y) h(z). Empregue o método de separação de variáveis e encontre a solução geral do problema.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a equação de Laplace em três dimensões:
nabla^2 Phi(x, y, z) = partial^2 Phipartial x^2 + partial^2 Phipartial y^2 + partial^2 Phipartial z^2 = 0
E nos é dado que a solução pode ser escrita como um produto de funções de cada variável:
Phi(x, y, z) = f(x) g(y) h(z)
Além disso, são fornecidas condições de periodicidade:
  1. Periódicas em ;
  2. Não periódicas em ;
  3. Periódicas em .
Vamos usar o método de separação de variáveis para encontrar a solução geral desse problema.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução pode ser escrita como o produto das funções Phi(x, y, z) = f(x) cdot g(y) cdot h(z) , e . Ou seja:
Nosso objetivo é encontrar expressões para , e que satisfaçam a equação de Laplace.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de partial^2 Phipartial x^2 = f''(x) cdot g(y) cdot h(z) em relação a partial^2 Phipartial y^2 = f(x) cdot g''(y) cdot h(z) , partial^2 Phipartial z^2 = f(x) cdot g(y) cdot h''(z) e f''(x) cdot g(y) cdot h(z) + f(x) cdot g''(y) cdot h(z) + f(x) cdot g(y) cdot h''(z) = 0 :
Substituindo essas derivadas na equação de Laplace:

Passo 4

Agora, dividimos toda a equação por f''(x)f(x) + g''(y)g(y) + h''(z)h(z) = 0 para separar as variáveis:
f''(x)f(x) = -k^2
Cada termo depende de uma única variável, então cada termo deve ser igual a uma constante. Vamos chamar essas constantes de g''(y)g(y) = k^2 para h''(z)h(z) = -k^2 e , e para , de maneira que a soma seja zero:

Passo 5

Resolvemos cada equação diferencial separadamente.
Para f''(x) + k^2 f(x) = 0 :
f(x) = A cos(kx) + B sin(kx)
A solução geral dessa equação é:
g''(y) - k^2 g(y) = 0
Como a função é periódica em g(y) = C e^ky + D e^-ky , usamos funções trigonométricas.
Para h''(z) + k^2 h(z) = 0 :
h(z) = E cos(kz) + F sin(kz)
A solução geral é:
Como a função não é periódica em , usamos exponenciais.
Para :
A solução geral é:
Novamente, usamos funções trigonométricas devido à periodicidade em .

Passo 6

Unimos as soluções encontradas para Phi(x, y, z) = [A cos(kx) + B sin(kx)] cdot [C e^ky + D e^-ky] cdot [E cos(kz) + F sin(kz)] , e para obter a solução geral de :
Onde são constantes que podem ser determinadas a partir de condições adicionais do problema.

Resposta

A solução geral do problema é:
Phi(x, y, z) = ( A cos(kx) + B sin(kx) ) ( C e^ky + D e^-ky ) ( E cos(kz) + F sin(kz) )
Onde são constantes e é um número real que caracteriza a periodicidade nas direções e .

Exercícios relacionados