i) Periódicas em ;
ii) Não periódicas em ;
iii) Periódicas em .
Para, . Empregue o método de separação de variáveis e encontre a solução geral do problema.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a equação de Laplace em três dimensões:
E nos é dado que a solução pode ser escrita como um produto de funções de cada variável:
Além disso, são fornecidas condições de periodicidade:
  1. Periódicas em ;
  2. Não periódicas em ;
  3. Periódicas em .
Vamos usar o método de separação de variáveis para encontrar a solução geral desse problema.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução pode ser escrita como o produto das funções , e . Ou seja:
Nosso objetivo é encontrar expressões para , e que satisfaçam a equação de Laplace.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e :
Substituindo essas derivadas na equação de Laplace:

Passo 4

Agora, dividimos toda a equação por para separar as variáveis:
Cada termo depende de uma única variável, então cada termo deve ser igual a uma constante. Vamos chamar essas constantes de para e , e para , de maneira que a soma seja zero:

Passo 5

Resolvemos cada equação diferencial separadamente.
Para :
A solução geral dessa equação é:
Como a função é periódica em , usamos funções trigonométricas.
Para :
A solução geral é:
Como a função não é periódica em , usamos exponenciais.
Para :
A solução geral é:
Novamente, usamos funções trigonométricas devido à periodicidade em .

Passo 6

Unimos as soluções encontradas para , e para obter a solução geral de :
Onde são constantes que podem ser determinadas a partir de condições adicionais do problema.

Resposta

A solução geral do problema é:
Onde são constantes e é um número real que caracteriza a periodicidade nas direções e .

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