i) Periódicas em
;
ii) Não periódicas em
;
iii) Periódicas em
.
Para,
. Empregue o método de separação de variáveis e encontre a solução geral do problema.
ii) Não periódicas em
iii) Periódicas em
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a equação de Laplace em três dimensões:
E nos é dado que a solução pode ser escrita como um produto de funções de cada variável:
Além disso, são fornecidas condições de periodicidade:
- Periódicas em
; - Não periódicas em
; - Periódicas em
.
Vamos usar o método de separação de variáveis para encontrar a solução geral desse problema.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução pode ser escrita como o produto das funções
,
e
. Ou seja:
Nosso objetivo é encontrar expressões para
,
e
que satisfaçam a equação de Laplace.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
:
Substituindo essas derivadas na equação de Laplace:
Passo 4
Agora, dividimos toda a equação por
para separar as variáveis:
Cada termo depende de uma única variável, então cada termo deve ser igual a uma constante. Vamos chamar essas constantes de
para
e
, e
para
, de maneira que a soma seja zero:
Passo 5
Resolvemos cada equação diferencial separadamente.
Para
:
A solução geral dessa equação é:
Como a função é periódica em
, usamos funções trigonométricas.
Para
:
A solução geral é:
Como a função não é periódica em
, usamos exponenciais.
Para
:
A solução geral é:
Novamente, usamos funções trigonométricas devido à periodicidade em
.
Passo 6
Unimos as soluções encontradas para
,
e
para obter a solução geral de
:
Onde
são constantes que podem ser determinadas a partir de condições adicionais do problema.
Resposta
A solução geral do problema é:
Onde
são constantes e
é um número real que caracteriza a periodicidade nas direções
e
.