i) Periódicas em
;
ii) Não periódicas em
;
iii) Periódicas em
.
Para,
. Empregue o método de separação de variáveis e encontre a solução geral do problema.
ii) Não periódicas em
iii) Periódicas em
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a equação de Laplace em três dimensões:
E nos é dado que a solução pode ser escrita como um produto de funções de cada variável:
Além disso, são fornecidas condições de periodicidade:
- Periódicas em
; - Não periódicas em
; - Periódicas em
.
Vamos usar o método de separação de variáveis para encontrar a solução geral desse problema.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução pode ser escrita como o produto das funções
,
e
. Ou seja:
Nosso objetivo é encontrar expressões para
,
e
que satisfaçam a equação de Laplace.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
:
Substituindo essas derivadas na equação de Laplace:
Passo 4
Agora, dividimos toda a equação por
para separar as variáveis:
Cada termo depende de uma única variável, então cada termo deve ser igual a uma constante. Vamos chamar essas constantes de
para
e
, e
para
, de maneira que a soma seja zero:
Passo 5
Resolvemos cada equação diferencial separadamente.
Para
:
A solução geral dessa equação é:
Como a função é periódica em
, usamos funções trigonométricas.
Para
:
A solução geral é:
Como a função não é periódica em
, usamos exponenciais.
Para
:
A solução geral é:
Novamente, usamos funções trigonométricas devido à periodicidade em
.
Passo 6
Unimos as soluções encontradas para
,
e
para obter a solução geral de
:
Onde
são constantes que podem ser determinadas a partir de condições adicionais do problema.
Resposta
A solução geral do problema é:
Onde
são constantes e
é um número real que caracteriza a periodicidade nas direções
e
.
Exercícios relacionados
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possui distribuição volumétrica de cargas constante. Calcule o módulo do campo elétrico para pontos exteriores e interiores ao cilindro.
e argumentos consistentes para encontrar as Equações de Laplace e Poisson.
OBS:
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Considere dois planos infinitos paralelos. Os planos possuem a mesma densidade de cargas
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.
Este tipo de equação aparece quando problemas de valores de contorno dependem exlusivamente da variável radial.
Este tipo de equação aparece quando problemas de valores de contorno dependem exlusivamente da variável radial.