e argumentos consistentes para encontrar as Equações de Laplace e Poisson.
OBS:
OBS:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício! O enunciado nos dá as Equações de Maxwell, que são fundamentais na eletromagnetismo. Nosso objetivo é derivar as Equações de Laplace e Poisson a partir dessas equações. Para isso, vamos precisar entender conceitos como divergente, rotacional e a relação entre o campo elétrico (
) e o potencial elétrico (
).
Passo 2
Primeiro, vamos focar na primeira das Equações de Maxwell:
Essa equação nos diz que a divergência do campo elétrico (
) é igual à densidade de carga elétrica (
) dividida pela permissividade do meio (
). Agora, sabemos que o campo elétrico pode ser expresso em termos do potencial elétrico:
Passo 3
Vamos substituir
na primeira Equação de Maxwell pela expressão em termos do potencial elétrico:
Simplificando o lado esquerdo:
Sabemos que a divergência do gradiente de uma função é o laplaciano dessa função, representado por
. Então:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 4
Essa última equação é a Equação de Poisson para o potencial elétrico. Agora, se considerarmos o caso onde não há carga elétrica presente (
), a equação simplifica para:
Essa é a Equação de Laplace.
Resposta
As Equações de Laplace e Poisson derivadas das Equações de Maxwell são:
e, na ausência de cargas elétricas,