e argumentos consistentes para encontrar as Equações de Laplace e Poisson.
OBS:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! O enunciado nos dá as Equações de Maxwell, que são fundamentais na eletromagnetismo. Nosso objetivo é derivar as Equações de Laplace e Poisson a partir dessas equações. Para isso, vamos precisar entender conceitos como divergente, rotacional e a relação entre o campo elétrico ( ) e o potencial elétrico ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos focar na primeira das Equações de Maxwell:
Essa equação nos diz que a divergência do campo elétrico ( ) é igual à densidade de carga elétrica ( ) dividida pela permissividade do meio ( ). Agora, sabemos que o campo elétrico pode ser expresso em termos do potencial elétrico:

Passo 3

Vamos substituir na primeira Equação de Maxwell pela expressão em termos do potencial elétrico:
Simplificando o lado esquerdo:
Sabemos que a divergência do gradiente de uma função é o laplaciano dessa função, representado por . Então:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 4

Essa última equação é a Equação de Poisson para o potencial elétrico. Agora, se considerarmos o caso onde não há carga elétrica presente ( ), a equação simplifica para:
Essa é a Equação de Laplace.

Resposta

As Equações de Laplace e Poisson derivadas das Equações de Maxwell são:
çã
e, na ausência de cargas elétricas,
çã

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Obs: Existe simetria azimutal, isto é, o potencial independe da variável . Saiba também, que a densidade de corrente pode ser escrita como .
(a) (Valor: 1,0 pt.) Que a resistência entre as duas superfícies verticais e é dada por,
(b) (Valor: .) Que a resistência entre as duas superfícies horizontais e é dada por,
A tabela a seguir mostra o comprimento, o diâmetro e a diferença de potencial entre as extremidades de três barras de cobre. Coloque as barras na ordem (a) do módulo do campo elétrico no interior da barra; (b) da densidade de corrente no interior da barra; © da velocidade de deriva dos elétrons, começando pelo maior valor.
Barra Comprimento Diâmetro Diferença de Potencial
1
2
3
Um cilindro dielétrico infinito de raio possui distribuição volumétrica de cargas constante. Calcule o módulo do campo elétrico para pontos exteriores e interiores ao cilindro.
i) Periódicas em ;
ii) Não periódicas em ;
iii) Periódicas em .
Para, . Empregue o método de separação de variáveis e encontre a solução geral do problema.