nabla cdot E & =rhoepsilon nabla cdot B & =0 nabla times E & =-partialpartial t B nabla times B & =mu J+mu epsilon partialpartial t E
e argumentos consistentes para encontrar as Equações de Laplace e Poisson.
OBS: E=-nabla phi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! O enunciado nos dá as Equações de Maxwell, que são fundamentais na eletromagnetismo. Nosso objetivo é derivar as Equações de Laplace e Poisson a partir dessas equações. Para isso, vamos precisar entender conceitos como divergente, rotacional e a relação entre o campo elétrico ( E) e o potencial elétrico ( phi).

Passo 2

Primeiro, vamos focar na primeira das Equações de Maxwell:
nabla cdot E = rhoepsilon
Essa equação nos diz que a divergência do campo elétrico ( E) é igual à densidade de carga elétrica ( rho) dividida pela permissividade do meio ( epsilon). Agora, sabemos que o campo elétrico pode ser expresso em termos do potencial elétrico:
E = -nabla phi

Passo 3

Vamos substituir E na primeira Equação de Maxwell pela expressão em termos do potencial elétrico:
nabla cdot (-nabla phi) = rhoepsilon
Simplificando o lado esquerdo:
- nabla cdot nabla phi = rhoepsilon
Sabemos que a divergência do gradiente de uma função é o laplaciano dessa função, representado por nabla^2. Então:
- nabla^2 phi = rhoepsilon
Multiplicando ambos os lados por -1:
nabla^2 phi = -rhoepsilon

Passo 4

Essa última equação é a Equação de Poisson para o potencial elétrico. Agora, se considerarmos o caso onde não há carga elétrica presente ( rho = 0), a equação simplifica para:
nabla^2 phi = 0
Essa é a Equação de Laplace.

Resposta

As Equações de Laplace e Poisson derivadas das Equações de Maxwell são:
nabla^2 phi = -rhoepsilon (Equação de Poisson) çã
e, na ausência de cargas elétricas,
nabla^2 phi = 0 (Equação de Laplace) çã

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