Um cilindro é envolvido por um tubo de parede fina de outro material. Qual é a tensão entre o cilindro e o tubo quando se aplica à extremidade do cilindro uma tensão de compressão de
. DADOS:
Cilindro:
Tubo:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cilindro que está sendo comprimido com uma tensão de
na sua extremidade. Esse cilindro está envolvido por um tubo de parede fina feito de outro material. Queremos descobrir qual é a tensão entre o cilindro e o tubo quando essa força de compressão é aplicada.
Matéria envolvida: Mecanica dos Materiais, especificamente o estudo de corpos compostos sob tensão.
O que vamos precisar:
- Módulo de Elasticidade (
): Medida da rigidez de um material. - Coeficiente de Poisson (
): Relação entre a deformação lateral e longitudinal. - Equilíbrio de forças e compatibilidade de deformações: Para garantir que ambos os materiais se deformem juntos sem deslizamento.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados fornecidos:
- Raio do cilindro (
): 15 cm - Módulo de Elasticidade do cilindro (
): 210 - Módulo de Elasticidade do tubo (
): 2100 - Coeficiente de Poisson (
): 1/6 - Espessura (
): 0,75 cm - Tensão aplicada (
): 100
Passo 3
Vamos considerar que, devido à compressão, tanto o cilindro quanto o tubo vão sofrer deformações. Como estão ligados, as deformações precisam ser compatíveis, ou seja, o comprimento comprimido do cilindro deve ser igual ao comprimento comprimido do tubo.
A tensão total aplicada será compartilhada entre o cilindro e o tubo de forma inversamente proporcional às suas rigidezes (módulo de elasticidade).
Passo 4
Primeiro, calculamos a rigidez de cada componente. A rigidez (
) de um material em compressão é dada por:
Onde:
-
é o módulo de elasticidade, -
é a área da seção transversal, -
é o comprimento.
Como não temos informações sobre o comprimento, vamos considerar que
é o mesmo para ambos os materiais e que as áreas são proporcionais ao raio.
Passo 5
A área da seção transversal do cilindro (
) é:
A área da seção transversal do tubo (
) leva em conta a espessura:
Passo 6
Agora, calculamos a rigidez de cada:
Interessante! As rigidezes são iguais.
Passo 7
Como as rigidezes são iguais, cada componente suporta metade da tensão aplicada.
Portanto, a tensão no cilindro (
) e no tubo (
) são:
Resposta
A tensão entre o cilindro e o tubo é de
para cada um.