Um saltador de esqui começa com uma velocidade de decolagem horizontal de
e pousa em uma colina de pouso reta inclinada a
. Determine
a distância vertical máxima entre o saltador e a colina de pouso.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que um saltador de esqui parte com uma velocidade horizontal de 25 m/s e aterrissa em uma colina inclinada a 30 graus. A gente precisa descobrir qual é a distância vertical máxima entre o saltador e a colina de pouso. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento projetado e geometria das inclinações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o movimento do saltador. Como ele parte apenas com velocidade horizontal, a velocidade inicial na vertical é zero. A equação que descreve a posição vertical do saltador em função do tempo é:
Como
, simplifica para:
Onde
é a aceleração da gravidade.
Passo 3
Agora, vamos descrever a colina de pouso. A colina é uma reta inclinada a 30 graus, então sua equação em termos de
e
pode ser escrita usando a tangente do ângulo:
Sabendo que
, ficamos com:
Passo 4
Vamos relacionar o tempo
com a posição horizontal
. Como a velocidade horizontal é constante:
Onde
. Então:
Substituindo isso na equação do movimento vertical:
Passo 5
A distância vertical entre o saltador e a colina é a diferença entre as alturas:
Substituindo as equações:
Para encontrar a distância máxima, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero:
Resolvendo para
:
Como distância não pode ser negativa, ignoramos o sinal:
Calculando:
Agora, substituímos
na equação da distância vertical:
Calculando cada termo:
Somando:
Como estamos interessados na magnitude:
Resposta
A distância vertical máxima entre o saltador e a colina de pouso é aproximadamente 31,9 metros.