Um saltador de esqui começa com uma velocidade de decolagem horizontal de 25 m / s e pousa em uma colina de pouso reta inclinada a 30^circ. Determine (c) a distância vertical máxima entre o saltador e a colina de pouso.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que um saltador de esqui parte com uma velocidade horizontal de 25 m/s e aterrissa em uma colina inclinada a 30 graus. A gente precisa descobrir qual é a distância vertical máxima entre o saltador e a colina de pouso. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento projetado e geometria das inclinações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o movimento do saltador. Como ele parte apenas com velocidade horizontal, a velocidade inicial na vertical é zero. A equação que descreve a posição vertical do saltador em função do tempo é:
y(t) = vy0 t - 12 g t^2
Como y(t) = -12 g t^2 , simplifica para:
Onde é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Agora, vamos descrever a colina de pouso. A colina é uma reta inclinada a 30 graus, então sua equação em termos de ycolina(x) = tan(30^circ) cdot x e ycolina(x) = raiz33 x pode ser escrita usando a tangente do ângulo:
Sabendo que , ficamos com:

Passo 4

Vamos relacionar o tempo x(t) = vx t com a posição horizontal t = x25 . Como a velocidade horizontal é constante:
y(t) = -12 g ( x25 )^2 = -g2 cdot 625 x^2 = -g1250 x^2
Onde . Então:
Substituindo isso na equação do movimento vertical:

Passo 5

A distância vertical entre o saltador e a colina é a diferença entre as alturas:
De
Substituindo as equações:
De
Para encontrar a distância máxima, vamos derivar ddx De em relação a x = -raiz332g1250 = -raiz3 cdot 12503 cdot 2g = -1250 raiz36g e igualar a zero:
x = 1250 raiz36 cdot 9,8
Resolvendo para x approx 1250 cdot 1,73258,8 approx 216558,8 approx 36,82 , m :
De
Como distância não pode ser negativa, ignoramos o sinal:
-9,81250 cdot 1354,11 approx -10,63 , m
Calculando:
-1,7323 cdot 36,82 approx -21,25 , m
Agora, substituímos De na equação da distância vertical:
De
Calculando cada termo:
Somando:
Como estamos interessados na magnitude:
á

Resposta

A distância vertical máxima entre o saltador e a colina de pouso é aproximadamente 31,9 metros.

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