Um cilindro infinitamente longo de raio R feito de material não condutor possui uma densidade de carga uniforme rho= const. Mostre que o campo elétrico produzido por ele é
l Er=rho R^22 epsilon0 r=12 pi epsilon0 lambdar, r>R Er=rho2 epsilon0 r=lambda2 pi epsilon0 R^2 r, r
onde lambda=rho pi R^2 é a carga por unidade de comprimento do cilindro

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para mostrarmos como calcular o campo elétrico produzido por um cilindro infinito de raio com carga distribuída de forma uniforme ( ). Vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente a Lei de Gauss, que é super útil para encontrar campos elétricos com certa simetria. Precisamos também conhecer um pouco sobre simetria cilíndrica e como aplicar a Lei de Gauss nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo ( oint E cdot dA = Qdentroepsilon0 ):
Como nosso cilindro é infinito e tem simetria cilíndrica, vamos escolher uma superfície gaussiana que seja também um cilindro coaxial com o cilindro carregado. Isso simplifica os cálculos porque o campo elétrico terá a mesma magnitude em toda a superfície gaussiana e será perpendicular a ela.

Passo 3

Vamos considerar dois casos: quando o ponto onde queremos calcular o campo está fora do cilindro ( lambda = rho pi R^2 ) e quando está dentro dele ( Er cdot 2pi r L = lambda Lepsilon0 ).
Caso 1: Er = lambda2pi epsilon0 r = rho R^22epsilon0 r
Aqui, a carga total dentro da superfície gaussiana é a carga do cilindro até o raio lambda' = rho pi r^2 . A densidade de carga é Er cdot 2pi r L = lambda' Lepsilon0 , então a carga por unidade de comprimento ( Er = lambda'2pi epsilon0 r = rho r2epsilon0 ) é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Onde é o comprimento do cilindro gaussiano que cancelamos depois. Resolvendo para :
Caso 2:
Agora, a carga dentro da superfície gaussiana não inclui todo o cilindro, mas apenas uma parte com raio . A carga por unidade de comprimento dentro desse raio é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para :

Resposta

Portanto, o campo elétrico produzido por um cilindro infinito de carga uniforme é dado por:
l Er=rho R^22 epsilon0 r=12 pi epsilon0 lambdar, r>R Er=rho2 epsilon0 r=lambda2 pi epsilon0 R^2 r, r
onde é a carga por unidade de comprimento do cilindro.

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