Um cilindro infinitamente longo de raio
feito de material não condutor possui uma densidade de carga uniforme
const. Mostre que o campo elétrico produzido por ele é
onde
é a carga por unidade de comprimento do cilindro
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para mostrarmos como calcular o campo elétrico produzido por um cilindro infinito de raio
com carga distribuída de forma uniforme (
). Vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente a Lei de Gauss, que é super útil para encontrar campos elétricos com certa simetria. Precisamos também conhecer um pouco sobre simetria cilíndrica e como aplicar a Lei de Gauss nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo (
):
Como nosso cilindro é infinito e tem simetria cilíndrica, vamos escolher uma superfície gaussiana que seja também um cilindro coaxial com o cilindro carregado. Isso simplifica os cálculos porque o campo elétrico terá a mesma magnitude em toda a superfície gaussiana e será perpendicular a ela.
Passo 3
Vamos considerar dois casos: quando o ponto onde queremos calcular o campo está fora do cilindro (
) e quando está dentro dele (
).
Caso 1:
Aqui, a carga total dentro da superfície gaussiana é a carga do cilindro até o raio
. A densidade de carga é
, então a carga por unidade de comprimento (
) é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Onde
é o comprimento do cilindro gaussiano que cancelamos depois. Resolvendo para
:
Caso 2:
Agora, a carga dentro da superfície gaussiana não inclui todo o cilindro, mas apenas uma parte com raio
. A carga por unidade de comprimento dentro desse raio é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para
:
Resposta
Portanto, o campo elétrico produzido por um cilindro infinito de carga uniforme é dado por:
onde
é a carga por unidade de comprimento do cilindro.