Fluxo através de um cilindro. Encontre o fluxo total através de uma superfície fechada em forma de cilindro que envolve uma linha carregada com densidade linear de cargas
. Considere que o eixo do cilindro e a linha são paralelos ao eixo
, e ambos estendem-se desde
até
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um cilindro fechado ao redor de uma linha de carga que tem uma densidade linear de carga que varia com a posição, dada por
. Tanto o cilindro quanto a linha de carga são paralelos ao eixo
e vão de
até
. Nosso objetivo aqui é encontrar o fluxo elétrico total que passa por essa superfície fechada do cilindro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletricidade, especificamente a Lei de Gauss, que nos ajuda a relacionar o fluxo elétrico com a carga elétrica encerrada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo elétrico. O fluxo elétrico, representado por
, é uma medida de quantas linhas de campo elétrico passam através de uma área. Matematicamente, é dado por:
Onde
é o campo elétrico e
é um elemento de área da superfície fechada.
Passo 3
Agora, a Lei de Gauss é a nossa melhor amiga aqui. Ela nos diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total encerrada dividida pela permissividade do vácuo (
). A fórmula é:
Então, para encontrar o fluxo, precisamos primeiro calcular a carga total (
) que está dentro do cilindro.
Passo 4
Vamos calcular
integrando a densidade linear de carga ao longo do comprimento da linha de carga de
até
. A densidade linear de carga é dada por
, então:
Resolvendo a integral:
Passo 5
Agora que temos
, aplicamos a Lei de Gauss para encontrar o fluxo elétrico:
Resposta
O fluxo elétrico total através da superfície fechada do cilindro é
.