Fluxo através de um cilindro. Encontre o fluxo total através de uma superfície fechada em forma de cilindro que envolve uma linha carregada com densidade linear de cargas lambda(x)=lambda0(1-x / h). Considere que o eixo do cilindro e a linha são paralelos ao eixo x, e ambos estendem-se desde x=0 até x=h.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um cilindro fechado ao redor de uma linha de carga que tem uma densidade linear de carga que varia com a posição, dada por lambda(x) = lambda0(1 - xh). Tanto o cilindro quanto a linha de carga são paralelos ao eixo x e vão de x=0 até x=h. Nosso objetivo aqui é encontrar o fluxo elétrico total que passa por essa superfície fechada do cilindro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletricidade, especificamente a Lei de Gauss, que nos ajuda a relacionar o fluxo elétrico com a carga elétrica encerrada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo elétrico. O fluxo elétrico, representado por Phi, é uma medida de quantas linhas de campo elétrico passam através de uma área. Matematicamente, é dado por:
Phi = oint E cdot dA
Onde E é o campo elétrico e dA é um elemento de área da superfície fechada.

Passo 3

Agora, a Lei de Gauss é a nossa melhor amiga aqui. Ela nos diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total encerrada dividida pela permissividade do vácuo ( epsilon0). A fórmula é:
Phi = Qencepsilon0
Então, para encontrar o fluxo, precisamos primeiro calcular a carga total ( Qenc) que está dentro do cilindro.

Passo 4

Vamos calcular Qenc integrando a densidade linear de carga ao longo do comprimento da linha de carga de x=0 até x=h. A densidade linear de carga é dada por lambda(x) = lambda0(1 - xh), então:
Qenc = integral0^h lambda(x) , dx = integral0^h lambda0(1 - xh) dx
Resolvendo a integral:
Qenc = lambda0 [ x - x^22h ]0^h = lambda0 [ h - h^22h ] = lambda0 [ h - h2 ] = lambda0 cdot h2 = lambda0 h2

Passo 5

Agora que temos Qenc, aplicamos a Lei de Gauss para encontrar o fluxo elétrico:
Phi = Qencepsilon0 = lambda0 h2epsilon0 = lambda0 h2 epsilon0

Resposta

O fluxo elétrico total através da superfície fechada do cilindro é Phi = dfraclambda0 h2,epsilon0.

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