Fluxo através de um cilindro. Encontre o fluxo total através de uma superfície fechada em forma de cilindro que envolve uma linha carregada com densidade linear de cargas . Considere que o eixo do cilindro e a linha são paralelos ao eixo , e ambos estendem-se desde até .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um cilindro fechado ao redor de uma linha de carga que tem uma densidade linear de carga que varia com a posição, dada por . Tanto o cilindro quanto a linha de carga são paralelos ao eixo e vão de até . Nosso objetivo aqui é encontrar o fluxo elétrico total que passa por essa superfície fechada do cilindro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletricidade, especificamente a Lei de Gauss, que nos ajuda a relacionar o fluxo elétrico com a carga elétrica encerrada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo elétrico. O fluxo elétrico, representado por , é uma medida de quantas linhas de campo elétrico passam através de uma área. Matematicamente, é dado por:
Onde é o campo elétrico e é um elemento de área da superfície fechada.

Passo 3

Agora, a Lei de Gauss é a nossa melhor amiga aqui. Ela nos diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total encerrada dividida pela permissividade do vácuo ( ). A fórmula é:
Então, para encontrar o fluxo, precisamos primeiro calcular a carga total ( ) que está dentro do cilindro.

Passo 4

Vamos calcular integrando a densidade linear de carga ao longo do comprimento da linha de carga de até . A densidade linear de carga é dada por , então:
Resolvendo a integral:

Passo 5

Agora que temos , aplicamos a Lei de Gauss para encontrar o fluxo elétrico:

Resposta

O fluxo elétrico total através da superfície fechada do cilindro é .

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