Uma corda está esticada entre dois suportes fixos separados por 1 m . Observou-se que tem frequências ressonantes em 420 Hz e 315 Hz e nenhuma outra neste intervalo. (b) Qual é a velocidade de onda para esta corda?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui! Temos uma corda esticada entre dois pontos fixos com 1 metro de distância. Essa corda vibra e apresenta frequências ressonantes de 420 Hz e 315 Hz, e aparentemente não tem outras frequências ressonantes nesse intervalo. Nosso objetivo é descobrir qual é a velocidade da onda nessa corda. Para isso, vamos usar conceitos de ondas estacionárias em cordas fixas, onde as frequências ressonantes estão relacionadas ao comprimento da corda, à velocidade da onda e ao modo de vibração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula das frequências ressonantes para uma corda fixa nas duas extremidades. As frequências são dadas por:
Onde:
  • é a frequência do modo
  • é a velocidade da onda na corda
  • é o comprimento da corda
  • é o número do modo (1, 2, 3, …)

Passo 3

Sabemos que temos duas frequências ressonantes: 315 Hz e 420 Hz. Vamos supor que essas correspondem a dois modos consecutivos, ou seja, e . Assim, podemos escrever:

Passo 4

Agora, vamos dividir a segunda equação pela primeira para encontrar a relação entre e :
Substituindo os valores das frequências:

Passo 5

Simplificando a fração:
Então:
Multiplicando ambos os lados por :
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 6

Agora que sabemos que , podemos usar a fórmula das frequências para encontrar a velocidade da onda. Vamos usar a primeira frequência:
Substituindo os valores:

Passo 7

Resolvendo para :
Multiplicando ambos os lados por 2:
Dividindo por 3:

Resposta

A velocidade da onda na corda é de 210 metros por segundo.

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