Uma corda está esticada entre dois suportes fixos separados por 1 m . Observou-se que tem frequências ressonantes em 420 Hz e 315 Hz e nenhuma outra neste intervalo. (b) Qual é a velocidade de onda para esta corda?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui! Temos uma corda esticada entre dois pontos fixos com 1 metro de distância. Essa corda vibra e apresenta frequências ressonantes de 420 Hz e 315 Hz, e aparentemente não tem outras frequências ressonantes nesse intervalo. Nosso objetivo é descobrir qual é a velocidade da onda nessa corda. Para isso, vamos usar conceitos de ondas estacionárias em cordas fixas, onde as frequências ressonantes estão relacionadas ao comprimento da corda, à velocidade da onda e ao modo de vibração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula das frequências ressonantes para uma corda fixa nas duas extremidades. As frequências são dadas por:
Onde:
-
é a frequência do modo -
é a velocidade da onda na corda -
é o comprimento da corda -
é o número do modo (1, 2, 3, …)
Passo 3
Sabemos que temos duas frequências ressonantes: 315 Hz e 420 Hz. Vamos supor que essas correspondem a dois modos consecutivos, ou seja,
e
. Assim, podemos escrever:
Passo 4
Agora, vamos dividir a segunda equação pela primeira para encontrar a relação entre
e
:
Substituindo os valores das frequências:
Passo 5
Simplificando a fração:
Então:
Multiplicando ambos os lados por
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 6
Agora que sabemos que
, podemos usar a fórmula das frequências para encontrar a velocidade da onda. Vamos usar a primeira frequência:
Substituindo os valores:
Passo 7
Resolvendo para
:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Dividindo por 3:
Resposta
A velocidade da onda na corda é de 210 metros por segundo.