Um cilindro isolante, infinito, de seção transversal circular de raio R, encontra-se carregado com uma densidade volumétrica de carga não-uniforme dada por rho=rho0(s / R), onde rho0 é uma constante positiva e s é a distância ao eixo do cilindro. Determine o vetor campo elétrico no interior do cilindro (s.

Passo 1

Então, a gente tem um cilindro infinito com seção circular e raio R. Esse cilindro está carregado, mas a carga não está distribuída de maneira uniforme. A densidade de carga volumétrica é dada por rho = rho0 ( sR ), onde rho0 é uma constante positiva e s é a distância do ponto considerado até o eixo do cilindro. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o campo elétrico dentro desse cilindro, ou seja, para valores de s menores que R. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil para calcular campos elétricos em situações com simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar rapidinho o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo do campo elétrico E através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo varepsilon0. Em fórmula, fica assim:
oint E cdot dA = Qinternovarepsilon0
Como nosso cilindro tem simetria cilíndrica, vamos escolher uma superfície gaussiana que seja também um cilindro coaxial, de raio s e comprimento L. Isso vai simplificar os cálculos porque o campo elétrico E vai ter a mesma magnitude em todo ponto dessa superfície e ser sempre radial.

Passo 3

Vamos calcular o fluxo do campo elétrico através dessa superfície gaussiana. Como o campo é radial e a superfície lateral do cilindro gaussiano é perpendiculares às linhas do campo, o fluxo pela superfície lateral é simplesmente E cdot 2pi s L. As duas bases do cilindro (as tampas) não contribuem para o fluxo porque o campo é paralelo a elas. Então, o fluxo total é:
Phi = E cdot 2pi s L

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a carga total Qinterno dentro do cilindro gaussiano. A densidade de carga é rho = rho0 ( sR ), então a carga dentro de um raio s é a integral da densidade sobre o volume:
Qinterno = integral0^s rho cdot 2pi s' L , ds' = integral0^s rho0 ( s'R ) cdot 2pi s' L , ds'
Vamos simplificar isso:
Qinterno = 2pi rho0 LR integral0^s s'^2 , ds' = 2pi rho0 LR cdot [ s'^33 ]0^s = 2pi rho0 L s^33R

Passo 5

Agora, vamos aplicar a Lei de Gauss. Igualamos o fluxo ao Qinterno dividido por varepsilon0:
E cdot 2pi s L = 2pi rho0 L s^33R varepsilon0
Podemos simplificar cancelando 2pi L dos dois lados:
E cdot s = rho0 s^33R varepsilon0

Passo 6

Finalmente, isolamos o campo elétrico E:
E = rho0 s^23R varepsilon0
Esse é o valor do campo elétrico no interior do cilindro para s < R.

Resposta

O vetor campo elétrico no interior do cilindro é dado por:
E(s) = rho0 s^23 R varepsilon0 , s
onde s é o versor na direção radial.

Exercícios relacionados