Um cilindro isolante, infinito, de seção transversal circular de raio
, encontra-se carregado com uma densidade volumétrica de carga não-uniforme dada por
, onde
é uma constante positiva e
é a distância ao eixo do cilindro. Determine o vetor campo elétrico no interior do cilindro
.
Passo 1
Então, a gente tem um cilindro infinito com seção circular e raio
. Esse cilindro está carregado, mas a carga não está distribuída de maneira uniforme. A densidade de carga volumétrica é dada por
, onde
é uma constante positiva e
é a distância do ponto considerado até o eixo do cilindro. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o campo elétrico dentro desse cilindro, ou seja, para valores de
menores que
. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil para calcular campos elétricos em situações com simetria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar rapidinho o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo do campo elétrico
através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo
. Em fórmula, fica assim:
Como nosso cilindro tem simetria cilíndrica, vamos escolher uma superfície gaussiana que seja também um cilindro coaxial, de raio
e comprimento
. Isso vai simplificar os cálculos porque o campo elétrico
vai ter a mesma magnitude em todo ponto dessa superfície e ser sempre radial.
Passo 3
Vamos calcular o fluxo do campo elétrico através dessa superfície gaussiana. Como o campo é radial e a superfície lateral do cilindro gaussiano é perpendiculares às linhas do campo, o fluxo pela superfície lateral é simplesmente
. As duas bases do cilindro (as tampas) não contribuem para o fluxo porque o campo é paralelo a elas. Então, o fluxo total é:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a carga total
dentro do cilindro gaussiano. A densidade de carga é
, então a carga dentro de um raio
é a integral da densidade sobre o volume:
Vamos simplificar isso:
Passo 5
Agora, vamos aplicar a Lei de Gauss. Igualamos o fluxo ao
dividido por
:
Podemos simplificar cancelando
dos dois lados:
Passo 6
Finalmente, isolamos o campo elétrico
:
Esse é o valor do campo elétrico no interior do cilindro para
.
Resposta
O vetor campo elétrico no interior do cilindro é dado por:
onde
é o versor na direção radial.
Exercícios relacionados
Um modelo eletrostático simples para o átomo de Hidrogênio consiste em tratarmos o próton como uma carga puntiforme
posicionada na origem de um sistema de coordenadas e o elétron como uma esfera maciça de raio
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, representando a nuvem eletrônica. Utilizando a lei de Gauss, determine o campo elétrico produzido pelo átomo a uma distância
da origem. Considere as regiões dentro
e fora
do átomo.
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. Nessa situação, calcule: O fluxo de campo elétrico produzido por
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do campo como função de
, destacando os pontos relevantes.
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.