Um cilindro isolante, infinito, de seção transversal circular de raio , encontra-se carregado com uma densidade volumétrica de carga não-uniforme dada por , onde é uma constante positiva e é a distância ao eixo do cilindro. Determine o vetor campo elétrico no interior do cilindro .

Passo 1

Então, a gente tem um cilindro infinito com seção circular e raio . Esse cilindro está carregado, mas a carga não está distribuída de maneira uniforme. A densidade de carga volumétrica é dada por , onde é uma constante positiva e é a distância do ponto considerado até o eixo do cilindro. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o campo elétrico dentro desse cilindro, ou seja, para valores de menores que . Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil para calcular campos elétricos em situações com simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar rapidinho o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo . Em fórmula, fica assim:
Como nosso cilindro tem simetria cilíndrica, vamos escolher uma superfície gaussiana que seja também um cilindro coaxial, de raio e comprimento . Isso vai simplificar os cálculos porque o campo elétrico vai ter a mesma magnitude em todo ponto dessa superfície e ser sempre radial.

Passo 3

Vamos calcular o fluxo do campo elétrico através dessa superfície gaussiana. Como o campo é radial e a superfície lateral do cilindro gaussiano é perpendiculares às linhas do campo, o fluxo pela superfície lateral é simplesmente . As duas bases do cilindro (as tampas) não contribuem para o fluxo porque o campo é paralelo a elas. Então, o fluxo total é:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a carga total dentro do cilindro gaussiano. A densidade de carga é , então a carga dentro de um raio é a integral da densidade sobre o volume:
Vamos simplificar isso:

Passo 5

Agora, vamos aplicar a Lei de Gauss. Igualamos o fluxo ao dividido por :
Podemos simplificar cancelando dos dois lados:

Passo 6

Finalmente, isolamos o campo elétrico :
Esse é o valor do campo elétrico no interior do cilindro para .

Resposta

O vetor campo elétrico no interior do cilindro é dado por:
onde é o versor na direção radial.

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