Uma placa isolante infinita de espessura encontra-se carregada com uma densidade volumétrica de carga constante e positiva . A placa é posicionada simetricamente com relação ao plano , como mostrado abaixo. Esboce um gráfico da componente do campo como função de , destacando os pontos relevantes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma placa infinita isolante com espessura total de , carregada de forma uniforme com uma densidade de carga . A placa está centralizada no plano , ou seja, ela vai de até . O que a gente precisa fazer é desenhar como a componente do campo elétrico varia em função de , destacando os pontos importantes. Para isso, vamos precisar usar a Lei de Gauss da eletrostática e entender um pouco sobre simetria em problemas de campo elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Lei de Gauss nos ajuda a relacionar o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total dentro dessa superfície. A gente escolhe uma superfície gaussiana que aproveite a simetria do problema para facilitar os cálculos. Como a placa é infinita e a carga é distribuída de forma uniforme, o campo elétrico vai depender só da distância em relação ao plano central.
Passo 3
Vamos dividir nosso espaço em três regiões para facilitar:
Região 1: Acima da placa, onde .
Região 2: Dentro da placa, onde .
Região 3: Abaixo da placa, onde .
Vamos calcular o campo elétrico em cada uma dessas regiões.
Passo 4
Região 1 ():
Aqui, a placa inteira está abaixo de nossa superfície gaussiana. A carga total dentro da superfície é igual à carga total da placa. Como a placa é infinita, a densidade de carga é , e a espessura é , a carga por unidade de área é .
Pela simetria, o campo elétrico aponta para cima e tem a mesma magnitude em qualquer ponto acima da placa. Usando a Lei de Gauss:
Daí:
Região 3 ():
De forma análoga à Região 1, mas agora o campo aponta para baixo:
Passo 5
Região 2 ():
Dentro da placa, a quantidade de carga acima e abaixo do ponto onde estamos calculando o campo é diferente. Só a carga entre o ponto e o centro da placa contribui para o campo elétrico nesse ponto.
A carga por unidade de volume é , então a carga por unidade de área até o ponto é . Aplicando a Lei de Gauss:
Portanto:
Resposta
Resumindo, a componente do campo elétrico em função de é dada por:
No gráfico, você vai ver uma linha reta aumentando linearmente de até , e depois se estabilizando nos valores para e , respectivamente.