Uma placa isolante infinita de espessura 2 d encontra-se carregada com uma densidade volumétrica de carga constante e positiva rho. A placa é posicionada simetricamente com relação ao plano X Y, como mostrado abaixo. Esboce um gráfico da componente Ez do campo como função de z, destacando os pontos relevantes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma placa infinita isolante com espessura total de 2d, carregada de forma uniforme com uma densidade de carga rho. A placa está centralizada no plano XY, ou seja, ela vai de z = -d até z = +d. O que a gente precisa fazer é desenhar como a componente Ez do campo elétrico varia em função de z, destacando os pontos importantes. Para isso, vamos precisar usar a Lei de Gauss da eletrostática e entender um pouco sobre simetria em problemas de campo elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Lei de Gauss nos ajuda a relacionar o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total dentro dessa superfície. A gente escolhe uma superfície gaussiana que aproveite a simetria do problema para facilitar os cálculos. Como a placa é infinita e a carga é distribuída de forma uniforme, o campo elétrico vai depender só da distância z em relação ao plano central.

Passo 3

Vamos dividir nosso espaço em três regiões para facilitar:
  1. Região 1: Acima da placa, onde z > d.
  2. Região 2: Dentro da placa, onde -d < z < d.
  3. Região 3: Abaixo da placa, onde z < -d.
Vamos calcular o campo elétrico em cada uma dessas regiões.

Passo 4

Região 1 ( z > d):
Aqui, a placa inteira está abaixo de nossa superfície gaussiana. A carga total dentro da superfície é igual à carga total da placa. Como a placa é infinita, a densidade de carga é rho, e a espessura é 2d, a carga por unidade de área é sigma = rho cdot 2d.
Pela simetria, o campo elétrico aponta para cima e tem a mesma magnitude em qualquer ponto acima da placa. Usando a Lei de Gauss:
PhiE = Ez cdot A = sigma cdot Avarepsilon0
Daí:
Ez = sigmavarepsilon0 = rho cdot 2dvarepsilon0
Região 3 ( z < -d):
De forma análoga à Região 1, mas agora o campo aponta para baixo:
Ez = -rho cdot 2dvarepsilon0

Passo 5

Região 2 ( -d < z < d):
Dentro da placa, a quantidade de carga acima e abaixo do ponto onde estamos calculando o campo é diferente. Só a carga entre o ponto z e o centro da placa contribui para o campo elétrico nesse ponto.
A carga por unidade de volume é rho, então a carga por unidade de área até o ponto z é rho cdot z. Aplicando a Lei de Gauss:
Ez cdot A = (rho cdot z) cdot Avarepsilon0
Portanto:
Ez = rho cdot zvarepsilon0

Resposta

Resumindo, a componente Ez do campo elétrico em função de z é dada por:
Ez(z) = rho cdot 2dvarepsilon0, & para z > d rho cdot zvarepsilon0, & para -d <= z <= d -rho cdot 2dvarepsilon0, & para z < -d
No gráfico, você vai ver uma linha reta aumentando linearmente de z = -d até z = d, e depois se estabilizando nos valores pm rho cdot 2dvarepsilon0 para z > d e z < -d, respectivamente.

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