Um modelo eletrostático simples para o átomo de Hidrogênio consiste em tratarmos o próton como uma carga puntiforme
posicionada na origem de um sistema de coordenadas e o elétron como uma esfera maciça de raio
(o raio de Bohr), centrada na origem e uniformemente carregada com uma carga
, representando a nuvem eletrônica. Utilizando a lei de Gauss, determine o campo elétrico produzido pelo átomo a uma distância
da origem. Considere as regiões dentro
e fora
do átomo.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de eletrostática usando a Lei de Gauss. O problema fala sobre um modelo simplificado do átomo de Hidrogênio, onde o próton é uma carga pontual
na origem e o elétron é uma esfera com raio
(raio de Bohr), carregada uniformemente com carga
. Precisamos determinar o campo elétrico produzido por esse átomo a uma distância
da origem, considerando duas regiões: dentro (
) e fora (
) do átomo. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico com a carga envolvida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Gauss, que diz:
Aqui,
é o campo elétrico,
é um elemento de área da superfície gaussiana,
é a carga total dentro dessa superfície, e
é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Vamos escolher uma superfície gaussiana esférica de raio
centrada na origem. Devido à simetria do problema, o campo elétrico
terá o mesmo valor em todos os pontos da superfície e será radial.
Passo 4
Calculemos o fluxo elétrico através da superfície gaussiana:
Isso porque o campo é constante na superfície e
e
são paralelos.
Passo 5
Agora, vamos determinar a carga total
dentro da superfície gaussiana para as duas regiões:
- Dentro do átomo (
): A carga dentro de será apenas a carga do próton mais a parte da carga do elétron que está dentro do raio .
Como a carga do elétron está distribuída uniformemente na esfera de raio
, a carga dentro de raio
é proporcional ao volume:
- Fora do átomo (
): Toda a carga do elétron está dentro da superfície gaussiana, então:
Passo 6
Aplicando a Lei de Gauss para cada caso:
- Dentro do átomo (
):
Resolvendo para
:
- Fora do átomo (
):
Portanto:
Resposta
O campo elétrico produzido pelo átomo de Hidrogênio a uma distância
da origem é: