Um modelo eletrostático simples para o átomo de Hidrogênio consiste em tratarmos o próton como uma carga puntiforme +e posicionada na origem de um sistema de coordenadas e o elétron como uma esfera maciça de raio a0 (o raio de Bohr), centrada na origem e uniformemente carregada com uma carga -e, representando a nuvem eletrônica. Utilizando a lei de Gauss, determine o campo elétrico produzido pelo átomo a uma distância r da origem. Considere as regiões dentro (r <= a0) e fora (r>a0) do átomo.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de eletrostática usando a Lei de Gauss. O problema fala sobre um modelo simplificado do átomo de Hidrogênio, onde o próton é uma carga pontual na origem e o elétron é uma esfera com raio (raio de Bohr), carregada uniformemente com carga . Precisamos determinar o campo elétrico produzido por esse átomo a uma distância da origem, considerando duas regiões: dentro ( ) e fora ( ) do átomo. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico com a carga envolvida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Gauss, que diz:
oint E cdot dA = Qencvarepsilon0
Aqui, é o campo elétrico, é um elemento de área da superfície gaussiana, é a carga total dentro dessa superfície, e é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Vamos escolher uma superfície gaussiana esférica de raio centrada na origem. Devido à simetria do problema, o campo elétrico terá o mesmo valor em todos os pontos da superfície e será radial.

Passo 4

Calculemos o fluxo elétrico através da superfície gaussiana:
oint E cdot dA = E cdot 4pi r^2
Isso porque o campo é constante na superfície e e são paralelos.

Passo 5

Agora, vamos determinar a carga total Qenc = +e + (-e) (r^3a0^3) dentro da superfície gaussiana para as duas regiões:
  • Dentro do átomo ( Qenc = +e + (-e) = 0 ): A carga dentro de será apenas a carga do próton mais a parte da carga do elétron que está dentro do raio .
Como a carga do elétron está distribuída uniformemente na esfera de raio , a carga dentro de raio é proporcional ao volume:
  • Fora do átomo ( ): Toda a carga do elétron está dentro da superfície gaussiana, então:

Passo 6

Aplicando a Lei de Gauss para cada caso:
  • Dentro do átomo ( E cdot 4pi r^2 = +e - e (r^3a0^3)varepsilon0 ):
E = e4pi varepsilon0 r^2 (1 - r^3a0^3)
Resolvendo para E cdot 4pi r^2 = 0varepsilon0 :
E = 0
  • Fora do átomo ( ):
Portanto:

Resposta

O campo elétrico produzido pelo átomo de Hidrogênio a uma distância E(r) = e4pi varepsilon0 r^2 (1 - r^3a0^3), & para r <= a0 0, & para r > a0 da origem é:

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