Um modelo eletrostático simples para o átomo de Hidrogênio consiste em tratarmos o próton como uma carga puntiforme posicionada na origem de um sistema de coordenadas e o elétron como uma esfera maciça de raio (o raio de Bohr), centrada na origem e uniformemente carregada com uma carga , representando a nuvem eletrônica. Utilizando a lei de Gauss, determine o campo elétrico produzido pelo átomo a uma distância da origem. Considere as regiões dentro e fora do átomo.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de eletrostática usando a Lei de Gauss. O problema fala sobre um modelo simplificado do átomo de Hidrogênio, onde o próton é uma carga pontual na origem e o elétron é uma esfera com raio (raio de Bohr), carregada uniformemente com carga . Precisamos determinar o campo elétrico produzido por esse átomo a uma distância da origem, considerando duas regiões: dentro () e fora () do átomo. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico com a carga envolvida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Gauss, que diz:
Aqui, é o campo elétrico, é um elemento de área da superfície gaussiana, é a carga total dentro dessa superfície, e é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Vamos escolher uma superfície gaussiana esférica de raio centrada na origem. Devido à simetria do problema, o campo elétrico terá o mesmo valor em todos os pontos da superfície e será radial.
Passo 4
Calculemos o fluxo elétrico através da superfície gaussiana:
Isso porque o campo é constante na superfície e e são paralelos.
Passo 5
Agora, vamos determinar a carga total dentro da superfície gaussiana para as duas regiões:
Dentro do átomo (): A carga dentro de será apenas a carga do próton mais a parte da carga do elétron que está dentro do raio .
Como a carga do elétron está distribuída uniformemente na esfera de raio , a carga dentro de raio é proporcional ao volume:
Fora do átomo (): Toda a carga do elétron está dentro da superfície gaussiana, então:
Passo 6
Aplicando a Lei de Gauss para cada caso:
Dentro do átomo ():
Resolvendo para :
Fora do átomo ():
Portanto:
Resposta
O campo elétrico produzido pelo átomo de Hidrogênio a uma distância da origem é: