Um cilindro isolante, infinito, de seção transversal circular de raio , encontra-se carregado com uma densidade volumétrica de carga não-uniforme dada por , onde é uma constante positiva e é a distância ao eixo do cilindro. Esboce um gráfico da intensidade do campo elétrico como função de , destacando os pontos relevantes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um cilindro infinito com carga distribuída de forma não uniforme. A densidade de carga é dada por , onde é uma constante positiva e é a distância ao eixo do cilindro. A gente precisa esboçar como o campo elétrico varia em função de . Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos em situações com simetria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo (). Matematicamente, é:
No nosso caso, como o cilindro é infinito e a distribuição de carga depende apenas da distância ao eixo, a simetria é cilíndrica. Isso significa que o campo elétrico só depende de e aponta radialmente para fora ou para dentro do cilindro.
Passo 3
Vamos escolher uma superfície gaussiana apropriada. Para cilindros, a melhor escolha é um cilindro coaxial com o cilindro carregado, de raio e comprimento . Essa superfície tem três partes: as duas bases e a superfície lateral. Devido à simetria, o campo elétrico atravessa apenas a superfície lateral, porque nas bases o campo é perpendicular à área e não contribui para o fluxo.
Passo 4
Agora, vamos calcular o fluxo elétrico. Como o campo é constante na superfície lateral e perpendicular a ela, o fluxo fica:
Onde é a área lateral do cilindro gaussiano.
Passo 5
Precisamos calcular a carga total dentro dessa superfície gaussiana. A densidade de carga varia com , então a carga total é a integral da densidade sobre o volume:
Resolvendo a integral:
Passo 6
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando:
Esse é o campo elétrico para . Para , toda a carga está concentrada dentro do raio , então a carga total é:
Aplicando a Lei de Gauss para :
Simplificando:
Resposta
O campo elétrico em função de é dado por:
No gráfico, aumenta proporcionalmente a dentro do cilindro () e decresce proporcionalmente a fora do cilindro (), com uma descontinuidade suave na transição em .