Um cilindro isolante, infinito, de seção transversal circular de raio R, encontra-se carregado com uma densidade volumétrica de carga não-uniforme dada por rho=rho0(s / R), onde rho0 é uma constante positiva e s é a distância ao eixo do cilindro. Esboce um gráfico da intensidade do campo elétrico como função de s, destacando os pontos relevantes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um cilindro infinito com carga distribuída de forma não uniforme. A densidade de carga é dada por , onde é uma constante positiva e é a distância ao eixo do cilindro. A gente precisa esboçar como o campo elétrico varia em função de . Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos em situações com simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo ( oint E cdot dA = Qdentrovarepsilon0 ). Matematicamente, é:
No nosso caso, como o cilindro é infinito e a distribuição de carga depende apenas da distância ao eixo, a simetria é cilíndrica. Isso significa que o campo elétrico só depende de e aponta radialmente para fora ou para dentro do cilindro.

Passo 3

Vamos escolher uma superfície gaussiana apropriada. Para cilindros, a melhor escolha é um cilindro coaxial com o cilindro carregado, de raio e comprimento . Essa superfície tem três partes: as duas bases e a superfície lateral. Devido à simetria, o campo elétrico atravessa apenas a superfície lateral, porque nas bases o campo é perpendicular à área e não contribui para o fluxo.

Passo 4

Agora, vamos calcular o fluxo elétrico. Como o campo PhiE = E cdot 2pi s L é constante na superfície lateral e perpendicular a ela, o fluxo fica:
Onde é a área lateral do cilindro gaussiano.

Passo 5

Precisamos calcular a carga total dentro dessa superfície gaussiana. A densidade de carga varia com Qdentro = integral0^L integral0^s rho0 ( s'R ) 2pi s' ds' dz , então a carga total Qdentro = rho0 2piR integral0^L dz integral0^s s'^2 ds' = rho0 2pi LR [ s'^33 ]0^s = rho0 2pi L s^33R é a integral da densidade sobre o volume:
Resolvendo a integral:

Passo 6

Aplicando a Lei de Gauss:
E cdot 2pi s L = rho0 2pi L s^33Rvarepsilon0
Simplificando:
E = rho0 s^23 varepsilon0 R
Esse é o campo elétrico para Qtotal = rho0 2pi L R^23R = rho0 2pi L R3 . Para E cdot 2pi s L = rho0 2pi L R3varepsilon0 , toda a carga está concentrada dentro do raio E = rho0 R3 varepsilon0 s , então a carga total é:
Aplicando a Lei de Gauss para :
Simplificando:

Resposta

O campo elétrico E(s) = rho0 s^23 varepsilon0 R & para s <= R rho0 R3 varepsilon0 s & para s > R em função de é dado por:
No gráfico, aumenta proporcionalmente a dentro do cilindro ( ) e decresce proporcionalmente a fora do cilindro ( ), com uma descontinuidade suave na transição em .

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