Um cilindro muito longo, de raio
, possui uma distribuição volumétrica de carga uniforme. (a) Mostre que, a uma distância
do eixo do cilindro,
em que
é a densidade volumétrica de carga. (b) Escreva uma expressão para
do lado de fora do cilindro.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o campo elétrico de um cilindro carregado. O enunciado nos pede para encontrar a expressão do campo elétrico dentro (
) e fora (
) de um cilindro longo com distribuição de carga uniforme. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil para calcular campos elétricos com simetrias como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo (
):
Para aplicar essa lei, precisamos escolher uma superfície gaussiana adequada. Como o cilindro é muito longo e tem simetria cilíndrica, vamos escolher uma superfície gaussiana que também seja um cilindro coaxial com o cilindro carregado, de raio
e comprimento
.
Passo 3
Vamos calcular o campo elétrico dentro do cilindro, onde
.
- Área lateral do cilindro gaussiano: A área lateral é
. - Fluxo elétrico: Como o campo elétrico é radial e uniforme na superfície lateral, o fluxo é
. - Carga interna: A carga dentro da superfície gaussiana é a densidade de carga vezes o volume, ou seja,
.
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando os termos:
Passo 4
Agora, vamos ver o que acontece fora do cilindro, onde
.
- Área lateral do cilindro gaussiano: Continua sendo
. - Fluxo elétrico: Ainda é
. - Carga interna: Agora, toda a carga do cilindro está dentro da superfície gaussiana, então
.
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando:
Resposta
(a) Dentro do cilindro (
):
(b) Fora do cilindro (
):