Um cilindro muito longo, de raio , possui uma distribuição volumétrica de carga uniforme. (a) Mostre que, a uma distância do eixo do cilindro,
em que é a densidade volumétrica de carga. (b) Escreva uma expressão para do lado de fora do cilindro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o campo elétrico de um cilindro carregado. O enunciado nos pede para encontrar a expressão do campo elétrico dentro ( ) e fora ( ) de um cilindro longo com distribuição de carga uniforme. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil para calcular campos elétricos com simetrias como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo ( ):
Para aplicar essa lei, precisamos escolher uma superfície gaussiana adequada. Como o cilindro é muito longo e tem simetria cilíndrica, vamos escolher uma superfície gaussiana que também seja um cilindro coaxial com o cilindro carregado, de raio e comprimento .

Passo 3

Vamos calcular o campo elétrico dentro do cilindro, onde .
  1. Área lateral do cilindro gaussiano: A área lateral é .
  2. Fluxo elétrico: Como o campo elétrico é radial e uniforme na superfície lateral, o fluxo é .
  3. Carga interna: A carga dentro da superfície gaussiana é a densidade de carga vezes o volume, ou seja, .
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando os termos:

Passo 4

Agora, vamos ver o que acontece fora do cilindro, onde .
  1. Área lateral do cilindro gaussiano: Continua sendo .
  2. Fluxo elétrico: Ainda é .
  3. Carga interna: Agora, toda a carga do cilindro está dentro da superfície gaussiana, então .
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando:

Resposta

(a) Dentro do cilindro ( ):
(b) Fora do cilindro ( ):

Exercícios relacionados

Uma placa isolante infinita de espessura encontra-se carregada com uma densidade volumétrica de carga constante e positiva . A placa é posicionada simetricamente com relação ao plano , como mostrado abaixo. Determine o vetor campo elétrico para pontos dentro da placa .
Um cilindro isolante, infinito, de seção transversal circular de raio , encontra-se carregado com uma densidade volumétrica de carga não-uniforme dada por , onde é uma constante positiva e é a distância ao eixo do cilindro. Esboce um gráfico da intensidade do campo elétrico como função de , destacando os pontos relevantes.
(2,5) - Um próton está sobre o eixo de um dipolo elétrico, a 40 nm de distancia do centro do dipolo. Quai o (a)moduio, e indique (b) a direçäo e © o sentido uà força eletrostatica que atua sobre o próton se o momento de dipolo é de . Suponha que a distancia entre as cargas do dipolo é muito menor que 40 nm ?
(2,5) - Úh próton de Moerudo a partir do repouso num poato situadés a uma Aistanncia sobre o eixo central de um disco uniformemente carregado de raio . Sabendo-se que a densidade superficial de cargas do disco é de e que o campo elétrico no eixo central de um disco uniformemente carregado é dado por , onde é distância ao longo do eixo do disco e , o raio do disco. Calcule o módulo e indique a direção e o sentido da forga elétrica cutue atua sohre o referido próton.