Um cilindro muito longo, de raio R, possui uma distribuição volumétrica de carga uniforme. (a) Mostre que, a uma distância r do eixo do cilindro,
E=rho r2 varepsilon0
em que rho é a densidade volumétrica de carga. (b) Escreva uma expressão para E do lado de fora do cilindro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o campo elétrico de um cilindro carregado. O enunciado nos pede para encontrar a expressão do campo elétrico dentro ( r < R) e fora ( r > R) de um cilindro longo com distribuição de carga uniforme. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil para calcular campos elétricos com simetrias como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo ( varepsilon0):
oint E cdot dA = Qinternovarepsilon0
Para aplicar essa lei, precisamos escolher uma superfície gaussiana adequada. Como o cilindro é muito longo e tem simetria cilíndrica, vamos escolher uma superfície gaussiana que também seja um cilindro coaxial com o cilindro carregado, de raio r e comprimento L.

Passo 3

Vamos calcular o campo elétrico dentro do cilindro, onde r < R.
  1. Área lateral do cilindro gaussiano: A área lateral é A = 2pi r L.
  2. Fluxo elétrico: Como o campo elétrico é radial e uniforme na superfície lateral, o fluxo é E cdot 2pi r L.
  3. Carga interna: A carga dentro da superfície gaussiana é a densidade de carga vezes o volume, ou seja, Qinterno = rho cdot pi r^2 L.
Aplicando a Lei de Gauss:
E cdot 2pi r L = rho pi r^2 Lvarepsilon0
Simplificando os termos:
E = rho r2 varepsilon0

Passo 4

Agora, vamos ver o que acontece fora do cilindro, onde r > R.
  1. Área lateral do cilindro gaussiano: Continua sendo A = 2pi r L.
  2. Fluxo elétrico: Ainda é E cdot 2pi r L.
  3. Carga interna: Agora, toda a carga do cilindro está dentro da superfície gaussiana, então Qinterno = rho cdot pi R^2 L.
Aplicando a Lei de Gauss:
E cdot 2pi r L = rho pi R^2 Lvarepsilon0
Simplificando:
E = rho R^22 varepsilon0 r

Resposta

(a) Dentro do cilindro ( r < R):
E = rho r2 varepsilon0
(b) Fora do cilindro ( r > R):
E = rho R^22 varepsilon0 r

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