Uma placa isolante infinita de espessura 2 d encontra-se carregada com uma densidade volumétrica de carga constante e positiva rho. A placa é posicionada simetricamente com relação ao plano X Y, como mostrado abaixo. Determine o vetor campo elétrico para pontos dentro da placa (|z| <= d).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma placa isolante infinita com espessura de 2d, carregada de forma constante com uma densidade volumétrica de carga positiva rho. A placa está posicionada de maneira simétrica em relação ao plano XY. Nosso objetivo aqui é determinar o vetor campo elétrico E para pontos que estão dentro da placa, ou seja, onde |z| <= d.
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos em situações com alta simetria. Vamos precisar entender como aplicar essa lei a uma distribuição de carga contínua e simétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo total do campo elétrico através de uma superfície fechada (chamada de superfície gaussiana) é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo epsilon0. Em fórmula:
ointS E cdot dA = Qencepsilon0
Onde:
  • ointS E cdot dA é o fluxo elétrico através da superfície gaussiana.
  • Qenc é a carga total dentro da superfície gaussiana.
  • epsilon0 é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Vamos escolher uma superfície gaussiana adequada para simplificar nossos cálculos. Como a placa é infinita e a distribuição de carga é uniforme, faz sentido escolher um “pílula” gaussiana (também conhecida como cilindro gaussiano) que se estenda perpendicularmente à placa. Essa superfície terá duas faces planas paralelas à placa e uma superfície lateral perpendicular a essas faces.
A ideia é que, devido à simetria, o campo elétrico E será perpendicular à placa e terá a mesma magnitude em pontos simétricos em relação ao plano XY. Assim, o fluxo através das laterais da “pílula” será zero, e o fluxo total será apenas através das duas faces planas.

Passo 4

Agora, vamos calcular o fluxo elétrico através dessa superfície gaussiana. Como o campo elétrico é uniforme e perpendicular às faces da “pílula”, o fluxo através de cada face será E cdot A, onde A é a área de cada face. Como temos duas faces, o fluxo total será:
Phi = E cdot A + E cdot A = 2E cdot A

Passo 5

Em seguida, precisamos calcular a carga total dentro da superfície gaussiana. A carga dentro da “pílula” é a densidade volumétrica de carga rho multiplicada pelo volume da “pílula”. Se a “pílula” tem área A e a espessura dentro da placa é z, então a carga é:
Qenc = rho cdot (A cdot z)

Passo 6

Agora, aplicamos a Lei de Gauss:
2E cdot A = rho cdot A cdot zepsilon0
Podemos simplificar cancelando A dos dois lados:
2E = rho cdot zepsilon0

Passo 7

Resolvendo para E, temos:
E = rho cdot z2epsilon0
Mas lembre-se que esse resultado é para um dos lados da placa. Como a placa é simétrica, a magnitude do campo elétrico dentro da placa depende apenas da distância z do ponto ao plano XY. Portanto, considerando a direção do campo elétrico, o campo total é:
E = rho2epsilon0 z , z

Resposta

O vetor campo elétrico para pontos dentro da placa é dado por:
E = rho2, epsilon0 , z , z

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