Uma placa isolante infinita de espessura
encontra-se carregada com uma densidade volumétrica de carga constante e positiva
. A placa é posicionada simetricamente com relação ao plano
, como mostrado abaixo. Determine o vetor campo elétrico para pontos dentro da placa
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma placa isolante infinita com espessura de
, carregada de forma constante com uma densidade volumétrica de carga positiva
. A placa está posicionada de maneira simétrica em relação ao plano
. Nosso objetivo aqui é determinar o vetor campo elétrico
para pontos que estão dentro da placa, ou seja, onde
.
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos em situações com alta simetria. Vamos precisar entender como aplicar essa lei a uma distribuição de carga contínua e simétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo total do campo elétrico através de uma superfície fechada (chamada de superfície gaussiana) é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo
. Em fórmula:
Onde:
-
é o fluxo elétrico através da superfície gaussiana. -
é a carga total dentro da superfície gaussiana. -
é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Vamos escolher uma superfície gaussiana adequada para simplificar nossos cálculos. Como a placa é infinita e a distribuição de carga é uniforme, faz sentido escolher um “pílula” gaussiana (também conhecida como cilindro gaussiano) que se estenda perpendicularmente à placa. Essa superfície terá duas faces planas paralelas à placa e uma superfície lateral perpendicular a essas faces.
A ideia é que, devido à simetria, o campo elétrico
será perpendicular à placa e terá a mesma magnitude em pontos simétricos em relação ao plano
. Assim, o fluxo através das laterais da “pílula” será zero, e o fluxo total será apenas através das duas faces planas.
Passo 4
Agora, vamos calcular o fluxo elétrico através dessa superfície gaussiana. Como o campo elétrico é uniforme e perpendicular às faces da “pílula”, o fluxo através de cada face será
, onde
é a área de cada face. Como temos duas faces, o fluxo total será:
Passo 5
Em seguida, precisamos calcular a carga total dentro da superfície gaussiana. A carga dentro da “pílula” é a densidade volumétrica de carga
multiplicada pelo volume da “pílula”. Se a “pílula” tem área
e a espessura dentro da placa é
, então a carga é:
Passo 6
Agora, aplicamos a Lei de Gauss:
Podemos simplificar cancelando
dos dois lados:
Passo 7
Resolvendo para
, temos:
Mas lembre-se que esse resultado é para um dos lados da placa. Como a placa é simétrica, a magnitude do campo elétrico dentro da placa depende apenas da distância
do ponto ao plano
. Portanto, considerando a direção do campo elétrico, o campo total é:
Resposta
O vetor campo elétrico para pontos dentro da placa é dado por: