Uma placa isolante infinita de espessura encontra-se carregada com uma densidade volumétrica de carga constante e positiva . A placa é posicionada simetricamente com relação ao plano , como mostrado abaixo. Determine o vetor campo elétrico para pontos dentro da placa .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma placa isolante infinita com espessura de , carregada de forma constante com uma densidade volumétrica de carga positiva . A placa está posicionada de maneira simétrica em relação ao plano . Nosso objetivo aqui é determinar o vetor campo elétrico para pontos que estão dentro da placa, ou seja, onde .
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos em situações com alta simetria. Vamos precisar entender como aplicar essa lei a uma distribuição de carga contínua e simétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo total do campo elétrico através de uma superfície fechada (chamada de superfície gaussiana) é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo . Em fórmula:
Onde:
  • é o fluxo elétrico através da superfície gaussiana.
  • é a carga total dentro da superfície gaussiana.
  • é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Vamos escolher uma superfície gaussiana adequada para simplificar nossos cálculos. Como a placa é infinita e a distribuição de carga é uniforme, faz sentido escolher um “pílula” gaussiana (também conhecida como cilindro gaussiano) que se estenda perpendicularmente à placa. Essa superfície terá duas faces planas paralelas à placa e uma superfície lateral perpendicular a essas faces.
A ideia é que, devido à simetria, o campo elétrico será perpendicular à placa e terá a mesma magnitude em pontos simétricos em relação ao plano . Assim, o fluxo através das laterais da “pílula” será zero, e o fluxo total será apenas através das duas faces planas.

Passo 4

Agora, vamos calcular o fluxo elétrico através dessa superfície gaussiana. Como o campo elétrico é uniforme e perpendicular às faces da “pílula”, o fluxo através de cada face será , onde é a área de cada face. Como temos duas faces, o fluxo total será:

Passo 5

Em seguida, precisamos calcular a carga total dentro da superfície gaussiana. A carga dentro da “pílula” é a densidade volumétrica de carga multiplicada pelo volume da “pílula”. Se a “pílula” tem área e a espessura dentro da placa é , então a carga é:

Passo 6

Agora, aplicamos a Lei de Gauss:
Podemos simplificar cancelando dos dois lados:

Passo 7

Resolvendo para , temos:
Mas lembre-se que esse resultado é para um dos lados da placa. Como a placa é simétrica, a magnitude do campo elétrico dentro da placa depende apenas da distância do ponto ao plano . Portanto, considerando a direção do campo elétrico, o campo total é:

Resposta

O vetor campo elétrico para pontos dentro da placa é dado por:

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4a
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