Um cilindro isolante muito longo, de raio , possui uma cavidade cilíndrica de raio , com o eixo da cavidade paralelo ao eixo do cilindro. A parte maciça do cilindro possui uma densidade volumétrica de carga uniforme . Mostre que o vetor campo elétrico no interior da cavidade é dado por , onde é o vetor que vai do eixo do cilindro até o eixo da cavidade .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um cilindro isolante bem longo com um raio que tem uma cavidade cilíndrica dentro, de raio . O eixo da cavidade é paralelo ao do cilindro principal. A parte sólida do cilindro tem uma densidade de carga uniforme . Nosso objetivo é mostrar que o campo elétrico dentro da cavidade é dado por , onde é o vetor que vai do eixo do cilindro até o eixo da cavidade, com . Vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente a Lei de Gauss, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo, . A fórmula é:
Isso vai nos ajudar a relacionar o campo elétrico com a carga presente no cilindro.

Passo 3

Como temos um cilindro muito longo, podemos assumir que o campo elétrico depende apenas da distância radial e é perpendicular às superfícies do cilindro. Mas, devido à cavidade, o campo dentro dela não será nulo. Precisamos considerar a distribuição de carga e como a presença da cavidade altera o campo.

Passo 4

Vamos imaginar que o cilindro sem a cavidade tem uma densidade de carga uniforme . A presença da cavidade significa que há uma região sem carga nessa área. Podemos pensar nisso como a superposição de dois cilindros: um com carga e outro com carga onde está a cavidade.

Passo 5

Para calcular o campo elétrico na cavidade, vamos usar a superposição de campos. O campo devido ao cilindro cheio seria uniforme e disponível pelo excesso de simetria. Já o campo devido ao cilindro com a cavidade vai anular parte desse campo dentro da cavidade.

Passo 6

Aplicando a Lei de Gauss, escolhemos uma superfície gaussiana dentro da cavidade, que também é um cilindro coaxial com a cavidade. A simetria nos permite dizer que o campo elétrico é constante em magnitude e direção nessa superfície.

Passo 7

Calculando o fluxo elétrico através dessa superfície gaussiana, temos:
Onde é a distância entre os eixos do cilindro e da cavidade, e é o comprimento do cilindro para simplificação.

Passo 8

A carga dentro da superfície gaussiana é a carga do cilindro principal menos a carga da cavidade:

Passo 9

Substituindo na equação do fluxo:
Simplificando os termos:

Passo 10

Para relacionar isso com o vetor , percebemos que a direção do campo elétrico dentro da cavidade é na direção de . Portanto, podemos expressar o campo elétrico como:

Resposta

O campo elétrico no interior da cavidade é dado por .

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a)
b)
c)
d)
e)
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