Um cilindro isolante muito longo, de raio R, possui uma cavidade cilíndrica de raio a, com o eixo da cavidade paralelo ao eixo do cilindro. A parte maciça do cilindro possui uma densidade volumétrica de carga uniforme rho. Mostre que o vetor campo elétrico no interior da cavidade é dado por E=rho b / 2 epsilon0, onde b é o vetor que vai do eixo do cilindro até o eixo da cavidade (a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um cilindro isolante bem longo com um raio R que tem uma cavidade cilíndrica dentro, de raio a. O eixo da cavidade é paralelo ao do cilindro principal. A parte sólida do cilindro tem uma densidade de carga uniforme rho. Nosso objetivo é mostrar que o campo elétrico dentro da cavidade é dado por E = rho b2 epsilon0, onde b é o vetor que vai do eixo do cilindro até o eixo da cavidade, com a < b < R. Vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente a Lei de Gauss, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo, epsilon0. A fórmula é:
oint E cdot dA = Qdentroepsilon0
Isso vai nos ajudar a relacionar o campo elétrico E com a carga presente no cilindro.

Passo 3

Como temos um cilindro muito longo, podemos assumir que o campo elétrico depende apenas da distância radial e é perpendicular às superfícies do cilindro. Mas, devido à cavidade, o campo dentro dela não será nulo. Precisamos considerar a distribuição de carga e como a presença da cavidade altera o campo.

Passo 4

Vamos imaginar que o cilindro sem a cavidade tem uma densidade de carga uniforme rho. A presença da cavidade significa que há uma região sem carga nessa área. Podemos pensar nisso como a superposição de dois cilindros: um com carga rho e outro com carga -rho onde está a cavidade.

Passo 5

Para calcular o campo elétrico na cavidade, vamos usar a superposição de campos. O campo devido ao cilindro cheio seria uniforme e disponível pelo excesso de simetria. Já o campo devido ao cilindro com a cavidade vai anular parte desse campo dentro da cavidade.

Passo 6

Aplicando a Lei de Gauss, escolhemos uma superfície gaussiana dentro da cavidade, que também é um cilindro coaxial com a cavidade. A simetria nos permite dizer que o campo elétrico é constante em magnitude e direção nessa superfície.

Passo 7

Calculando o fluxo elétrico através dessa superfície gaussiana, temos:
oint E cdot dA = E cdot 2pi b L = Qdentroepsilon0
Onde b é a distância entre os eixos do cilindro e da cavidade, e L é o comprimento do cilindro para simplificação.

Passo 8

A carga dentro da superfície gaussiana é a carga do cilindro principal menos a carga da cavidade:
Qdentro = rho cdot pi R^2 L - rho cdot pi a^2 L = rho pi (R^2 - a^2) L

Passo 9

Substituindo Qdentro na equação do fluxo:
E cdot 2pi b L = rho pi (R^2 - a^2) Lepsilon0
Simplificando os termos:
E = rho (R^2 - a^2)2 epsilon0 b

Passo 10

Para relacionar isso com o vetor b, percebemos que a direção do campo elétrico dentro da cavidade é na direção de b. Portanto, podemos expressar o campo elétrico como:
E = rho b2 epsilon0

Resposta

O campo elétrico no interior da cavidade é dado por E = rho b2 epsilon0.

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