Um cilindro isolante muito longo, de raio
, possui uma cavidade cilíndrica de raio
, com o eixo da cavidade paralelo ao eixo do cilindro. A parte maciça do cilindro possui uma densidade volumétrica de carga uniforme
. Mostre que o vetor campo elétrico no interior da cavidade é dado por
, onde
é o vetor que vai do eixo do cilindro até o eixo da cavidade
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um cilindro isolante bem longo com um raio
que tem uma cavidade cilíndrica dentro, de raio
. O eixo da cavidade é paralelo ao do cilindro principal. A parte sólida do cilindro tem uma densidade de carga uniforme
. Nosso objetivo é mostrar que o campo elétrico dentro da cavidade é dado por
, onde
é o vetor que vai do eixo do cilindro até o eixo da cavidade, com
. Vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente a Lei de Gauss, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo,
. A fórmula é:
Isso vai nos ajudar a relacionar o campo elétrico
com a carga presente no cilindro.
Passo 3
Como temos um cilindro muito longo, podemos assumir que o campo elétrico depende apenas da distância radial e é perpendicular às superfícies do cilindro. Mas, devido à cavidade, o campo dentro dela não será nulo. Precisamos considerar a distribuição de carga e como a presença da cavidade altera o campo.
Passo 4
Vamos imaginar que o cilindro sem a cavidade tem uma densidade de carga uniforme
. A presença da cavidade significa que há uma região sem carga nessa área. Podemos pensar nisso como a superposição de dois cilindros: um com carga
e outro com carga
onde está a cavidade.
Passo 5
Para calcular o campo elétrico na cavidade, vamos usar a superposição de campos. O campo devido ao cilindro cheio seria uniforme e disponível pelo excesso de simetria. Já o campo devido ao cilindro com a cavidade vai anular parte desse campo dentro da cavidade.
Passo 6
Aplicando a Lei de Gauss, escolhemos uma superfície gaussiana dentro da cavidade, que também é um cilindro coaxial com a cavidade. A simetria nos permite dizer que o campo elétrico é constante em magnitude e direção nessa superfície.
Passo 7
Calculando o fluxo elétrico através dessa superfície gaussiana, temos:
Onde
é a distância entre os eixos do cilindro e da cavidade, e
é o comprimento do cilindro para simplificação.
Passo 8
A carga dentro da superfície gaussiana é a carga do cilindro principal menos a carga da cavidade:
Passo 9
Substituindo
na equação do fluxo:
Simplificando os termos:
Passo 10
Para relacionar isso com o vetor
, percebemos que a direção do campo elétrico dentro da cavidade é na direção de
. Portanto, podemos expressar o campo elétrico como:
Resposta
O campo elétrico no interior da cavidade é dado por
.