Uma esfera condutora de raio possui uma carga . Ela é colocada no interior de uma esfera condutora oca, descarregada, de raio interno e raio externo , de forma que as esferas sejam concêntricas. (a) Obtenha expressões para o campo elétrico para , , e . (b) Faça um gráfico do módulo do campo elétrico em função da distância. © Determine as cargas na superfície interna e na superfície externa da esfera oca. (d) Faça um desenho indicando a localização das cargas e as linhas de campo elétrico.

Passo 1

Vamos resolver o exercício sobre campos elétricos gerados por esferas condutoras. O problema envolve uma esfera condutora com carga de raio colocada dentro de uma esfera condutora oca, não carregada, com raio interno e raio externo , sendo ambas concêntricas. Precisamos determinar o campo elétrico em diferentes regiões, plotar seu módulo, encontrar as cargas nas superfícies da esfera oca e desenhar as linhas de campo elétrico. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como a aplicação da Lei de Gauss e propriedades de condutores em equilíbrio eletrostático.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as regiões onde precisamos calcular o campo elétrico:
  1. : dentro da esfera condutora carregada.
  2. : no espaço entre as duas esferas.
  3. : dentro da esfera oca.
  4. : fora da esfera oca.

Passo 3

Usaremos a Lei de Gauss, que nos ajuda a calcular campos elétricos com alta simetria. A Lei de Gauss é dada por:
onde é a carga total dentro da superfície gaussiana e é a permissividade do vácuo.

Passo 4

Vamos calcular o campo elétrico em cada região:
Para :
Dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é zero. Portanto, para :
Para :
A carga está completamente dentro da esfera de raio . Aplicando a Lei de Gauss, a contribuição para o campo elétrico vem apenas da carga :
Para :
A esfera oca é condutora e inicialmente não possui carga. Porém, a presença da carga na esfera interna induz uma carga na superfície interna da esfera oca para neutralizar o campo dentro do condutor. A superfície externa da esfera oca terá uma carga para manter o total de carga da esfera oca igual a zero:
Para :
A carga total externa é a soma das cargas das duas esferas: . Portanto, o campo elétrico é:

Passo 5

Resumindo os resultados para o campo elétrico:

Passo 6

Para a parte ©, determinamos as cargas nas superfícies da esfera oca:
  • Superfície interna ( ):
  • Superfície externa ( ):

Resposta

As cargas na esfera oca são:
  • Superfície interna ( ):
  • Superfície externa ( ):

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Um disco uniformemente carregado possui raio igual a e carga igual a 4,0 pC. (a) Obtenha o módulo do campo elétrico sobre o eixo do disco a uma distância igual a do seu centro. (b) Calcule o módulo do campo elétrico a uma distância igual a de um plano infinito que possui a mesma densidade superficial de carga e compare com o campo do disco. Por que o valor calculado em (a) é menor?
Duplas cargas puntiformes positivas, iguais a , são fixadas sobre o eixo nas posições e . (a) Considerando que o pontencial a uma distância infinita das cargas é igual a zero, mostre que o potencial em qualquer ponto do eixo é dado por
(b) Determine o potencial para . Interprete o resultado. © Faça um gráfico do potencial em função de .
Sejam as funções e , tais que e , em seus respectivos domínios. Então, o domínio da função é:
a)
b)
c)
d)
e)
Um cilindro isolante muito longo, de raio , possui uma cavidade cilíndrica de raio , com o eixo da cavidade paralelo ao eixo do cilindro. A parte maciça do cilindro possui uma densidade volumétrica de carga uniforme . Mostre que o vetor campo elétrico no interior da cavidade é dado por , onde é o vetor que vai do eixo do cilindro até o eixo da cavidade .