Uma esfera condutora de raio
possui uma carga
. Ela é colocada no interior de uma esfera condutora oca, descarregada, de raio interno
e raio externo
, de forma que as esferas sejam concêntricas. (a) Obtenha expressões para o campo elétrico para
,
,
e
. (b) Faça um gráfico do módulo do campo elétrico em função da distância. © Determine as cargas na superfície interna e na superfície externa da esfera oca. (d) Faça um desenho indicando a localização das cargas e as linhas de campo elétrico.
Passo 1
Vamos resolver o exercício sobre campos elétricos gerados por esferas condutoras. O problema envolve uma esfera condutora com carga
de raio
colocada dentro de uma esfera condutora oca, não carregada, com raio interno
e raio externo
, sendo ambas concêntricas. Precisamos determinar o campo elétrico em diferentes regiões, plotar seu módulo, encontrar as cargas nas superfícies da esfera oca e desenhar as linhas de campo elétrico. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como a aplicação da Lei de Gauss e propriedades de condutores em equilíbrio eletrostático.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as regiões onde precisamos calcular o campo elétrico:
-
: dentro da esfera condutora carregada. -
: no espaço entre as duas esferas. -
: dentro da esfera oca. -
: fora da esfera oca.
Passo 3
Usaremos a Lei de Gauss, que nos ajuda a calcular campos elétricos com alta simetria. A Lei de Gauss é dada por:
onde
é a carga total dentro da superfície gaussiana e
é a permissividade do vácuo.
Passo 4
Vamos calcular o campo elétrico em cada região:
Para
:
Dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é zero. Portanto, para :
Dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é zero. Portanto, para
Para
:
A carga está completamente dentro da esfera de raio
. Aplicando a Lei de Gauss, a contribuição para o campo elétrico vem apenas da carga
:
A carga
Para
:
A esfera oca é condutora e inicialmente não possui carga. Porém, a presença da carga na esfera interna induz uma carga
na superfície interna da esfera oca para neutralizar o campo dentro do condutor. A superfície externa da esfera oca terá uma carga
para manter o total de carga da esfera oca igual a zero:
A esfera oca é condutora e inicialmente não possui carga. Porém, a presença da carga
Para
:
A carga total externa é a soma das cargas das duas esferas: . Portanto, o campo elétrico é:
A carga total externa é a soma das cargas das duas esferas:
Passo 5
Resumindo os resultados para o campo elétrico:
Passo 6
Para a parte ©, determinamos as cargas nas superfícies da esfera oca:
- Superfície interna (
): - Superfície externa (
):
Resposta
As cargas na esfera oca são:
- Superfície interna (
): - Superfície externa (
):