Sejam as funções f: R R e g: A subset R R, tais que f(x)=x^2-9 e (f circ g)(x)=x-6, em seus respectivos domínios. Então, o domínio A da função g é:
a) (-3,+infty)
b) R
c) (-5,+infty)
d) (-infty,-1) cup[3,+infty)
e) (-infty, raiz6)

Passo 1

Vamos lá! Temos duas funções: f(x) = x^2 - 9 e (f circ g)(x) = x - 6. A composição de funções, representada como (f circ g)(x), significa que estamos aplicando a função g primeiro e depois a função f no resultado de g. O que queremos descobrir é qual é o domínio da função g. O conteúdo que estamos trabalhando aqui envolve funções e domínios. Para resolver, vamos precisar entender como a composição de funções funciona e qual o impacto disso no domínio de g.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa (f circ g)(x) = x - 6. Isso nos diz que, quando aplicamos g e depois f, o resultado deve ser x - 6. Para descobrir qual é a função g, precisamos começar pela fórmula de f. Ou seja, vamos igualar f(g(x)) a x - 6:
f(g(x)) = g(x)^2 - 9 = x - 6

Passo 3

Agora, reorganizando essa equação, temos:
g(x)^2 - 9 = x - 6
Se somarmos 9 em ambos os lados, ficamos com:
g(x)^2 = x + 3
E se tirarmos a raiz quadrada de ambos os lados, teremos:
g(x) = pm raizx + 3

Passo 4

Agora precisamos determinar o domínio da função g. O domínio de g é definido pelas restrições que aparecem na expressão raizx + 3. Para que a raiz quadrada esteja definida, o que está dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero:
x + 3 >= 0
Resolvendo essa inequação, temos:
x >= -3
Então, isso significa que o domínio de g é [-3, +infty), mas temos que considerar que g(x) também tem a parte negativa (ou seja, -raizx + 3). No entanto, o valor negativo não altera o domínio, pois ele também precisa que o radicando seja maior ou igual a 0, então ainda estamos em [-3, +infty).

Resposta

Portanto, a resposta correta é que o domínio A da função g é [-3, +infty), mas como essa opção não está entre as alternativas dadas, precisamos escolher a que mais se aproxima dentro das opções fornecidas. A alternativa que representa parte desse intervalo e é a mais próxima da solução é a letra d) (-infty,-1) cup[3,+infty).

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