um cilindro laminado de paredes espessas foi fabricado por retração de uma camisa de aço
ksi e
) com diâmetro interno de 7,992 in e diâmetro externo de 12,000 in sobre um tubo de aço com diâmetro interno de 4,000 in e diâmetro externo de 8,000 in. Determine a presão interna máxima que pode ser aplicada ao conjunto se a tensão tangencial interna do cilindro não pode ser superior a 30 ksi.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um cilindro de aço laminado montado sobre um tubo de aço. A gente precisa descobrir qual é a pressão interna máxima que esse conjunto suporta sem que a tensão tangencial interna do cilindro ultrapasse 30 ksi. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vasos de pressão de paredes espessas, especialmente as fórmulas de Lamé que ajudam a calcular as tensões em cilindros submetidos a pressão interna e externa.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
-
Cilindro Laminado:
- Módulo de elasticidade,
ksi - Coeficiente de Poisson,
- Diâmetro interno,
in - Diâmetro externo,
in
- Módulo de elasticidade,
-
Tubo de Aço:
- Diâmetro interno,
in - Diâmetro externo,
in
- Diâmetro interno,
Queremos achar a pressão interna máxima,
, que o conjunto suporta sem que a tensão tangencial interna do cilindro laminado,
, passe de 30 ksi.
Passo 3
Vamos lembrar as fórmulas de Lamé para vasos de pressão de paredes espessas. A tensão tangencial (ou hoop stress) em um ponto radial
é dada por:
Onde:
-
é a pressão interna -
é a pressão externa -
é o raio interno -
é o raio externo
No nosso caso, como o cilindro está sobre o tubo, vamos considerar que a pressão externa do cilindro laminado é igual à pressão interna do tubo, e vice-versa.
Passo 4
Vamos converter os diâmetros para raios:
-
Cilindro Laminado:
-
in -
in
-
-
Tubo de Aço:
-
in -
in
-
Agora, assumindo que o conjunto está em equilíbrio, a pressão externa do cilindro laminado (
) é igual à pressão interna do tubo (
) e a pressão externa do tubo (
) é zero (ambiente externo sem pressão).
Passo 5
Queremos que a tensão tangencial interna do cilindro laminado não exceda 30 ksi:
Aplicando a fórmula de Lamé para o cilindro laminado no raio interno
:
Simplificando e resolvendo para
:
Após os cálculos, encontramos que a pressão interna máxima é de aproximadamente 30 ksi.
Resposta
A pressão interna máxima que pode ser aplicada ao conjunto é de 30 ksi.