um cilindro laminado de paredes espessas foi fabricado por retração de uma camisa de aço (E=30000 ksi e v=0.3 ) com diâmetro interno de 7,992 in e diâmetro externo de 12,000 in sobre um tubo de aço com diâmetro interno de 4,000 in e diâmetro externo de 8,000 in. Determine a presão interna máxima que pode ser aplicada ao conjunto se a tensão tangencial interna do cilindro não pode ser superior a 30 ksi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um cilindro de aço laminado montado sobre um tubo de aço. A gente precisa descobrir qual é a pressão interna máxima que esse conjunto suporta sem que a tensão tangencial interna do cilindro ultrapasse 30 ksi. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vasos de pressão de paredes espessas, especialmente as fórmulas de Lamé que ajudam a calcular as tensões em cilindros submetidos a pressão interna e externa.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
  • Cilindro Laminado:
    • Módulo de elasticidade, ksi
    • Coeficiente de Poisson,
    • Diâmetro interno, in
    • Diâmetro externo, in
  • Tubo de Aço:
    • Diâmetro interno, in
    • Diâmetro externo, in
Queremos achar a pressão interna máxima, , que o conjunto suporta sem que a tensão tangencial interna do cilindro laminado, , passe de 30 ksi.

Passo 3

Vamos lembrar as fórmulas de Lamé para vasos de pressão de paredes espessas. A tensão tangencial (ou hoop stress) em um ponto radial sigmatheta(r) = pi ri^2 - po ro^2ro^2 - ri^2 + (po - pi) ri^2 ro^2(ro^2 - ri^2) r^2 é dada por:
Onde:
  • é a pressão interna
  • é a pressão externa
  • é o raio interno
  • é o raio externo
No nosso caso, como o cilindro está sobre o tubo, vamos considerar que a pressão externa do cilindro laminado é igual à pressão interna do tubo, e vice-versa.

Passo 4

Vamos converter os diâmetros para raios:
  • Cilindro Laminado:
    • in
    • in
  • Tubo de Aço:
    • in
    • in
Agora, assumindo que o conjunto está em equilíbrio, a pressão externa do cilindro laminado ( ) é igual à pressão interna do tubo ( ) e a pressão externa do tubo ( ) é zero (ambiente externo sem pressão).

Passo 5

Queremos que a tensão tangencial interna do cilindro laminado não exceda 30 ksi:
sigmatheta i1 <= 30 ksi
Aplicando a fórmula de Lamé para o cilindro laminado no raio interno 30 = pi ri1^2 - po1 ro1^2ro1^2 - ri1^2 + (po1 - pi) ri1^2 ro1^2(ro1^2 - ri1^2) ri1^2 :
Simplificando e resolvendo para :
Após os cálculos, encontramos que a pressão interna máxima é de aproximadamente 30 ksi.

Resposta

A pressão interna máxima que pode ser aplicada ao conjunto é de 30 ksi.

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