Um cilindro de 0,1 m^3 desse gás a 25^circ C e 5,0 atm é colocado em uma câmara completamente evacuada de 3,0 m^3. A válvula é aberta e o sistema é deixado até que o equilíbrio seja atingido. Desprezando qualquer troca de calor com o cilindro e com a parede da câmara, qual o estado final do gás? Qual a variação de entropia do sistema?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um cilindro com 0,1 m³ de um gás a 25°C e 5,0 atm. Esse cilindro é colocado numa câmara totalmente evacuada que tem 3,0 m³. Quando a gente abre a válvula, o gás vai se espalhar até equilibrar. Nosso objetivo aqui é descobrir qual vai ser o estado final do gás (ou seja, a pressão e a temperatura finais) e qual será a variação de entropia desse sistema. Para resolver isso, vamos usar a Lei dos Gases Ideais e o conceito de expansão livre para calcular a variação de entropia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que sabemos:
  • Volume inicial do cilindro, $ V_i = 0,1 , m^3 $
  • Pressão inicial, $ P_i = 5,0 , atm $
  • Temperatura inicial, $ T_i = 25°C = 298 , K $ (convertendo para Kelvin)
  • Volume da câmara evacuada, $ V_{câmara} = 3,0 , m^3 $
  • Volume final total, $ V_f = V_i + V_{câmara} = 0,1 + 3,0 = 3,1 , m^3 $

Passo 3

Vamos assumir que o gás se comporta de maneira ideal. A Lei dos Gases Ideais é dada por:
PV = nRT
Onde:
  • $ P $ é a pressão
  • $ V $ é o volume
  • $ n $ é o número de mols
  • $ R $ é a constante dos gases ideais ($ R = 0,0821 , L·atm/mol·K $ ou $ 8,314 , J/mol·K $)
  • $ T $ é a temperatura
Como não temos a quantidade de gás, podemos trabalhar com relação inicial e final.

Passo 4

Como não há troca de calor e a expansão é livre (contra pressão externa zero), não há trabalho realizado e a energia interna permanece constante. Para um gás ideal, isso significa que a temperatura final será igual à inicial:
Tf = Ti = 298 , K

Passo 5

Vamos calcular a pressão final usando a Lei dos Gases Ideais. Como a temperatura não mudou, podemos usar a relação:
Pi ViTi = Pf VfTf
Como $ T_f = T_i $, podemos simplificar para:
Tf = Ti
Resolvendo para $ P_f $:
Pi Vi = Pf Vf

Passo 6

Agora, vamos calcular a variação de entropia ($ \Delta S $). Para uma expansão isotérmica de um gás ideal, a variação de entropia é dada por:
De
Como não temos $ n $, podemos reescrever a equação usando a Lei dos Gases Ideais:
De
Substituindo na equação de $ \Delta S $:
n
Convertendo $ P_i $ para Pascals ($ 1 , atm = 101325 , Pa $):
n = Pi ViRTi
Agora, substituindo os valores:
De
Calculando:
De

Resposta

O estado final do gás é de aproximadamente 0,161 atm e 298 K. A variação de entropia do sistema é de cerca de 583,3 J/K.

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