Um determinado gás segue a equação do virial truncada no segundo termo (conforme exercício 1) com coeficiente B=-0,72 L mol^-1. O valor de CP para esse gás no estado de gás ideal é de 35 J mol^-1 cdot K^-1, independentemente da temperatura. Uma determinada corrente desse gás está a 350^circ C e 10,0 atm, passa por uma turbina onde sofre uma expansão isoentrópica e chega à pressão atmosférica. Qual a temperatura final do processo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um gás que segue a equação de virial truncada no segundo termo, com um coeficiente $ B = -0,72 , \mathrm{L \cdot mol^{-1}} $. Além disso, o calor específico a pressão constante $ C_p $ desse gás no estado de gás ideal é $ 35 , \mathrm{J \cdot mol^{-1} \cdot K^{-1}} $, e isso é constante, independente da temperatura. A gente tem uma corrente desse gás à $ 350^{\circ} \mathrm{C} $ (que dá 623 K) e 10,0 atm, que passa por uma turbina e sofre uma expansão isoentrópica, ou seja, sem troca de entropia, chegando à pressão atmosférica (1 atm). A missão é descobrir qual será a temperatura final desse processo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação de virial truncada no segundo termo. Ela é uma forma corrigida da equação dos gases ideais para levar em conta interações entre as moléculas. A equação fica assim:
P Vm = R T (1 + BVm)
Onde:
  • $ P $ é a pressão,
  • $ V_m $ é o volume molar,
  • $ R $ é a constante dos gases ( P ),
  • $ T $ é a temperatura,
  • $ B $ é o coeficiente de virial.
Como temos uma expansão isoentrópica, a entropia $ S $ permanece constante. Para processos isoentrópicos em gases reais, podemos usar a seguinte relação que envolve o coeficiente de virial:
Vm
Onde $ \gamma = \frac{C_p}{C_v} $ é a razão dos calores específicos. Mas, como temos um gás real, precisamos ajustar essa relação incorporando o coeficiente de virial.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular $ \gamma $. Sabemos que:
gamma
E também que:
gamma = CpCv
Então, podemos expressar $ C_v $ em função de $ C_p $:
Cp - Cv = R
Substituindo os valores:
Cv
Agora, calculamos $ \gamma $:
Cp

Passo 4

Agora, vamos aplicar a relação para processos isoentrópicos considerando o gás real. A forma ajustada leva em conta o coeficiente de virial $ B $. A relação fica:
B
Isso pode ficar bem complicado, mas podemos simplificar assumindo que as correções de virial são pequenas devido ao valor de $ B $.

Passo 5

Assumindo que $ B $ é pequeno e as correções são mínimas, podemos aproximar a relação para $ T_2 $ como:
B
Vamos usar essa aproximação para facilitar os cálculos.

Passo 6

Agora, substituímos os valores conhecidos na equação:
T2 = 623 , K (1 , atm10 , atm)^1,312 - 11,312 = 623 , K (0,1)^0,312
Calculando o expoente:
0,1^0,312 approx 0,513

Passo 7

Finalmente, calculamos $ T_2 $:
T2
Convertendo para Celsius:
T2 = 623 , K times 0,513 approx 320 , K

Resposta

A temperatura final do processo é aproximadamente $ 47^{\circ} \mathrm{C} $.

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