Um determinado gás segue a equação do virial truncada no segundo termo (conforme exercício 1) com coeficiente
. O valor de
para esse gás no estado de gás ideal é de
, independentemente da temperatura. Uma determinada corrente desse gás está a
e
, passa por uma turbina onde sofre uma expansão isoentrópica e chega à pressão atmosférica. Qual a temperatura final do processo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um gás que segue a equação de virial truncada no segundo termo, com um coeficiente $ B = -0,72 , \mathrm{L \cdot mol^{-1}} $. Além disso, o calor específico a pressão constante $ C_p $ desse gás no estado de gás ideal é $ 35 , \mathrm{J \cdot mol^{-1} \cdot K^{-1}} $, e isso é constante, independente da temperatura. A gente tem uma corrente desse gás à $ 350^{\circ} \mathrm{C} $ (que dá 623 K) e 10,0 atm, que passa por uma turbina e sofre uma expansão isoentrópica, ou seja, sem troca de entropia, chegando à pressão atmosférica (1 atm). A missão é descobrir qual será a temperatura final desse processo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação de virial truncada no segundo termo. Ela é uma forma corrigida da equação dos gases ideais para levar em conta interações entre as moléculas. A equação fica assim:
Onde:
- $ P $ é a pressão,
- $ V_m $ é o volume molar,
- $ R $ é a constante dos gases (
), - $ T $ é a temperatura,
- $ B $ é o coeficiente de virial.
Como temos uma expansão isoentrópica, a entropia $ S $ permanece constante. Para processos isoentrópicos em gases reais, podemos usar a seguinte relação que envolve o coeficiente de virial:
Onde $ \gamma = \frac{C_p}{C_v} $ é a razão dos calores específicos. Mas, como temos um gás real, precisamos ajustar essa relação incorporando o coeficiente de virial.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular $ \gamma $. Sabemos que:
E também que:
Então, podemos expressar $ C_v $ em função de $ C_p $:
Substituindo os valores:
Agora, calculamos $ \gamma $:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a relação para processos isoentrópicos considerando o gás real. A forma ajustada leva em conta o coeficiente de virial $ B $. A relação fica:
Isso pode ficar bem complicado, mas podemos simplificar assumindo que as correções de virial são pequenas devido ao valor de $ B $.
Passo 5
Assumindo que $ B $ é pequeno e as correções são mínimas, podemos aproximar a relação para $ T_2 $ como:
Vamos usar essa aproximação para facilitar os cálculos.
Passo 6
Agora, substituímos os valores conhecidos na equação:
Calculando o expoente:
Passo 7
Finalmente, calculamos $ T_2 $:
Convertendo para Celsius:
Resposta
A temperatura final do processo é aproximadamente $ 47^{\circ} \mathrm{C} $.