Um determinado gás obedece à equação do virial:
L.mol
. Calcule: o valor do coeficiente de Joule-Thompson nessa mesma condição. Considere que nessas condições de temperatura e pressão,
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular o coeficiente de Joule-Thompson usando a equação do virial para um gás específico. A matéria aqui envolve termodinâmica, mais especificamente propriedades dos gases e como elas se relacionam. Vamos precisar entender a equação do virial, a definição do coeficiente de Joule-Thompson e como relacionar essas coisas para achar a resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação do virial que foi dada:
Aqui,
é a pressão,
é a constante dos gases,
é a temperatura,
é o volume molar, e
é o coeficiente de virial, que foi dado como
L·mol⁻¹.
Passo 3
O coeficiente de Joule-Thompson (
) nos diz como a temperatura de um gás muda quando ele é expandido sem troca de calor com o ambiente (processo adiabático isotérmico). A fórmula para
é:
Onde
é a entalpia.
Passo 4
Para encontrar
, precisamos relacionar a variação da temperatura com a pressão a entalpia constante. Podemos usar a seguinte relação termodinâmica:
Aqui,
é a capacidade calorífica a pressão constante, que foi fornecido como
J·mol⁻¹·K⁻¹.
Passo 5
Agora, vamos calcular
. Partindo da equação do virial:
Vamos rearranjar para expressar
em função de
. No entanto, para facilitar, assumimos que as mudanças são pequenas e usamos derivadas parciais.
Primeiro, derivamos
em relação a
mantendo
constante:
Isso resulta em:
Passo 6
Vamos isolar
:
Dividindo ambos os lados:
Simplificando:
Passo 7
Agora, substituímos
na expressão do
:
Simplificando a expressão dentro dos colchetes:
Multiplicando numerador e denominador por
:
Expandindo:
Simplificando o numerador:
Então:
Passo 8
Agora, precisamos expressar
em termos das outras variáveis. Vamos usar a equação do virial novamente para encontrar
. Ignorando termos de ordem superior (pois
é pequeno):
Assumindo que
é pequeno, podemos aproximar:
Passo 9
Substituindo
na expressão de
:
Simplificando:
Resposta
Após simplificar, o coeficiente de Joule-Thompson é dado por:
Substituindo os valores fornecidos (
L·mol⁻¹,
J·mol⁻¹·K⁻¹) e as condições de temperatura
e pressão
, você pode calcular o valor numérico de
.