Um determinado gás obedece à equação do virial:
P=R TV+B R TV^2
com B=-0,0369 L.mol ^-1. Calcule: o valor do coeficiente de Joule-Thompson nessa mesma condição. Considere que nessas condições de temperatura e pressão, CP=29,9304 J cdot mol^-1 cdot K^-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular o coeficiente de Joule-Thompson usando a equação do virial para um gás específico. A matéria aqui envolve termodinâmica, mais especificamente propriedades dos gases e como elas se relacionam. Vamos precisar entender a equação do virial, a definição do coeficiente de Joule-Thompson e como relacionar essas coisas para achar a resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação do virial que foi dada:
P = R TV + B R TV^2
Aqui, P é a pressão, R é a constante dos gases, T é a temperatura, V é o volume molar, e B é o coeficiente de virial, que foi dado como -0,0369 L·mol⁻¹.

Passo 3

O coeficiente de Joule-Thompson ( muJT) nos diz como a temperatura de um gás muda quando ele é expandido sem troca de calor com o ambiente (processo adiabático isotérmico). A fórmula para muJT é:
muJT = ( partial Tpartial P )H
Onde H é a entalpia.

Passo 4

Para encontrar muJT, precisamos relacionar a variação da temperatura com a pressão a entalpia constante. Podemos usar a seguinte relação termodinâmica:
muJT = 1CP [ T ( partial Vpartial T )P - V ]
Aqui, CP é a capacidade calorífica a pressão constante, que foi fornecido como 29,9304 J·mol⁻¹·K⁻¹.

Passo 5

Agora, vamos calcular ( partial Vpartial T )P. Partindo da equação do virial:
P = R TV + B R TV^2
Vamos rearranjar para expressar V em função de T. No entanto, para facilitar, assumimos que as mudanças são pequenas e usamos derivadas parciais.
Primeiro, derivamos V em relação a T mantendo P constante:
partialpartial T ( R TV + B R TV^2 ) = 0
Isso resulta em:
RV + R T (-1)V^2 partial Vpartial T + B RV^2 + B R T (-2)V^3 partial Vpartial T = 0

Passo 6

Vamos isolar partial Vpartial T:
( -R TV^2 - 2 B R TV^3 ) partial Vpartial T = -RV - B RV^2
Dividindo ambos os lados:
partial Vpartial T = RV + B RV^2R TV^2 + 2 B R TV^3 = R V + B RR T + 2 B R T / V
Simplificando:
partial Vpartial T = V + BT + 2 B T / V

Passo 7

Agora, substituímos partial Vpartial T na expressão do muJT:
muJT = 1CP [ T ( V + BT + 2 B TV ) - V ]
Simplificando a expressão dentro dos colchetes:
muJT = 1CP [ T (V + B)T (1 + 2 BV ) - V ] = 1CP [ V + B1 + 2 BV - V ]
Multiplicando numerador e denominador por V:
muJT = 1CP [ V(V + B)V + 2 B - V ]
Expandindo:
muJT = 1CP [ V^2 + B VV + 2 B - V ] = 1CP [ V^2 + B V - V(V + 2 B)V + 2 B ]
Simplificando o numerador:
V^2 + B V - V^2 - 2 B V = -B V
Então:
muJT = 1CP ( -B V V + 2 B ) = -B VCP (V + 2 B)

Passo 8

Agora, precisamos expressar V em termos das outras variáveis. Vamos usar a equação do virial novamente para encontrar V. Ignorando termos de ordem superior (pois B é pequeno):
P = R TV + B R TV^2 Rightarrow P V^2 = R T V + B R T
Assumindo que B R T é pequeno, podemos aproximar:
P V^2 approx R T V Rightarrow V approx R TP

Passo 9

Substituindo V approx R TP na expressão de muJT:
muJT = -B ( R TP )CP ( R TP + 2 B )
Simplificando:
muJT = -B R TP CP ( R TP + 2 B ) = -B R TCP (R T + 2 B P)

Resposta

Após simplificar, o coeficiente de Joule-Thompson é dado por:
muJT = -B R TCP (R T + 2 B P)
Substituindo os valores fornecidos ( B = -0,0369 L·mol⁻¹, CP = 29,9304 J·mol⁻¹·K⁻¹) e as condições de temperatura T e pressão P, você pode calcular o valor numérico de muJT.

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