Um cilindro maciço de 2,0kg e diâmetro 0,20m é abandonada em um plano inclinado e rola sem deslizar. O cilindro desce ao longo do plano de maneira a variar sua altura em 0 , 4 0 m.
Determine sua velocidade linear ao chegar a base da rampa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um cilindro maciço de 2,0 kg e diâmetro de 0,20 m que está rolando sem escorregar por um plano inclinado. A altura que ele desce é de 0,40 m. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade linear do cilindro quando ele chega na base da rampa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia potencial e cinética, além de levar em conta a energia de rotação já que o cilindro está rolando.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando o cilindro está no topo da rampa, toda a sua energia é potencial gravitacional. Conforme ele desce, essa energia se transforma em energia cinética de movimento (translação) e energia cinética de rotação.
A energia potencial gravitacional (EP) é dada por:
EP = m cdot g cdot h
onde:
- $ m = 2,0 , kg $ (massa do cilindro)
- $ g = 9,81 , m/s^2 $ (aceleração da gravidade)
- $ h = 0,40 , m $ (altura da rampa)

Passo 3

A energia cinética total (EC) no final é a soma da energia cinética de translação e da energia cinética de rotação. Para um cilindro rolando sem escorregar, a energia cinética é:
EC = 12 m v^2 + 12 I omega^2
onde:
- $ v $ é a velocidade linear
- $ I $ é o momento de inércia do cilindro
- $ \omega $ é a velocidade angular
Para um cilindro sólido, o momento de inércia é:
v
E como está rolando sem escorregar, a relação entre $ v $ e $ \omega $ é:
I

Passo 4

Vamos substituir $ \omega $ na equação da energia cinética:
omega
Simplificando:
EC = 12 m v^2 + 12 ( 12 m r^2 ) ( vr )^2
EC = 12 m v^2 + 14 m v^2

Passo 5

Pela conservação da energia, a energia potencial no topo se iguala à energia cinética no final:
m cdot g cdot h = 34 m v^2
Notamos que a massa $ m $ se cancela dos dois lados:
m

Passo 6

Agora, vamos isolar $ v $ para encontrar a velocidade linear:
v
v^2 = 43 g h

Passo 7

Substituindo os valores:
v = raiz 43 times 9,81 times 0,40
v = raiz 43 times 3,924
v = raiz 5,232
v approx 2,29 , m/s

Resposta

A velocidade linear do cilindro ao chegar na base da rampa é aproximadamente 2,29 m/s.

Exercícios relacionados