Um cilindro maciço de 2,0kg e diâmetro 0,20m é abandonada em um plano inclinado e rola sem deslizar. O cilindro desce ao longo do plano de maneira a variar sua altura em
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Determine sua velocidade linear ao chegar a base da rampa.
Determine sua velocidade linear ao chegar a base da rampa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um cilindro maciço de 2,0 kg e diâmetro de 0,20 m que está rolando sem escorregar por um plano inclinado. A altura que ele desce é de 0,40 m. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade linear do cilindro quando ele chega na base da rampa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia potencial e cinética, além de levar em conta a energia de rotação já que o cilindro está rolando.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando o cilindro está no topo da rampa, toda a sua energia é potencial gravitacional. Conforme ele desce, essa energia se transforma em energia cinética de movimento (translação) e energia cinética de rotação.
A energia potencial gravitacional (EP) é dada por:
onde:
- $ m = 2,0 , kg $ (massa do cilindro)
- $ g = 9,81 , m/s^2 $ (aceleração da gravidade)
- $ h = 0,40 , m $ (altura da rampa)
Passo 3
A energia cinética total (EC) no final é a soma da energia cinética de translação e da energia cinética de rotação. Para um cilindro rolando sem escorregar, a energia cinética é:
onde:
- $ v $ é a velocidade linear
- $ I $ é o momento de inércia do cilindro
- $ \omega $ é a velocidade angular
Para um cilindro sólido, o momento de inércia é:
E como está rolando sem escorregar, a relação entre $ v $ e $ \omega $ é:
Passo 4
Vamos substituir $ \omega $ na equação da energia cinética:
Simplificando:
Passo 5
Pela conservação da energia, a energia potencial no topo se iguala à energia cinética no final:
Notamos que a massa $ m $ se cancela dos dois lados:
Passo 6
Agora, vamos isolar $ v $ para encontrar a velocidade linear:
Passo 7
Substituindo os valores:
Resposta
A velocidade linear do cilindro ao chegar na base da rampa é aproximadamente 2,29 m/s.