Um cilindro maciço de 2,0kg e diâmetro 0,20m é abandonada em um plano inclinado e rola sem deslizar. O cilindro desce ao longo do plano de maneira a variar sua altura em 0 , 4 0 m.
Demonstre que a força de atrito é igual a 1 / 3 Mgsen theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A gente tem um cilindro maciço de 2,0 kg e diâmetro de 0,20 m que está rolando sem deslizar por um plano inclinado. A altura que ele desce é de 0,40 m. Nosso objetivo aqui é mostrar que a força de atrito que atua nesse cilindro é igual a $ \frac{1}{3} Mg\sin\theta $.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam no cilindro enquanto ele rola pelo plano inclinado. As principais são:
  1. Peso ($ Mg $): Puxa o cilindro para baixo.
  2. Componente do peso paralela ao plano ($ Mg\sin\theta $): Faz o cilindro deslizar para baixo.
  3. Força de atrito ($ f $): Impede o deslizamento e faz o cilindro rolar sem deslizar.

Passo 3

Como o cilindro está rolando sem deslizar, isso significa que há uma rotação associada ao movimento. Para relacionar a força de atrito com a rotação, precisamos considerar o momento de inércia do cilindro e a segunda lei de Newton para rotação.
O momento de inércia ($ I $) de um cilindro maciço em relação ao seu eixo central é:
I
onde $ M $ é a massa e $ R $ é o raio do cilindro.

Passo 4

Vamos aplicar a segunda lei de Newton para a tradução do movimento:
Mgsintheta - f = Ma
Aqui, $ a $ é a aceleração do cilindro para baixo no plano.
Agora, para a rotação, temos:
a
Como o cilindro não desliza, a aceleração linear ($ a fR = Ialpha \alpha $) estão relacionadas por:
a

Passo 5

Substituindo $ \alpha = \frac{a}{R} $ na equação do torque:
alpha = aR
fR = I ( aR )
fR = 12MR^2 ( aR )

Passo 6

Agora, substituímos $ f = \frac{1}{2}Ma $ na primeira equação:
f = 12Ma
Mgsintheta - 12Ma = Ma
Mgsintheta = Ma + 12Ma = 32Ma

Passo 7

Com o valor de $ a $ encontrado, voltamos à expressão de $ f $:
a

Resposta

A força de atrito que atua no cilindro é igual a $ \frac{1}{3} Mg\sin\theta $.

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