Em um ponto de um encanamento, de diâmetro 180 mm , a velocidade da água é 3,0 m / s e a pressão manométrica é igual a 5,00 times 10^4 Pa. (a) Calcule a pressão manométrica em um segundo ponto do encanamențo, 11,0 m abaixo do primeiro, sabendo que o diâmetro do cano no segundo ponto é o dobro do diâmetro do cano no primeiro. (b) Qual a potência da água no ponto mais baixo? ( 1 , 0 ponto).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um encanamento com diâmetro de 180 mm onde a água está se movendo a uma velocidade de 3,0 , m/s e a pressão manométrica é 5,00 times 10^4 , Pa. Precisamos calcular:
a) A pressão manométrica em um segundo ponto que está 11 metros abaixo do primeiro, sabendo que o diâmetro do cano nesse segundo ponto é o dobro do primeiro.
b) A potência da água no ponto mais baixo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Esvazionamento Continuo (Equação de Continuidade) e Equação de Bernoulli.

Passo 2

Primeiro, vamos lidar com a parte (a). Sabemos que quando o diâmetro do cano muda, a velocidade da água também muda. A Equação de Continuidade nos ajuda a relacionar as velocidades nos dois pontos:
A1 v1 = A2 v2
Onde:
  • A é a área da seção transversal do cano.
  • v é a velocidade da água.
Como o diâmetro no segundo ponto é o dobro, D2 = 2D1, então:
A1A2 = (D1D2)^2 = (12)^2 = 14
Portanto:
v2 = v14 = 3,04 = 0,75 , m/s

Passo 3

Agora, vamos usar a Equação de Bernoulli para encontrar a pressão no segundo ponto. A equação é:
p1 + 12 rho v1^2 + rho g h1 = p2 + 12 rho v2^2 + rho g h2
Assumindo que o primeiro ponto está ao nível de referência ( h1 = 0) e o segundo ponto está 11 metros abaixo ( h2 = 11 , m), podemos rearranjar a equação para p2:
p2 = p1 + 12 rho (v1^2 - v2^2) + rho g h
Onde:
  • rho = 1000 , kg/m^3 (densidade da água)
  • g = 9,81 , m/s^2 (aceleração da gravidade)
  • h = 11 , m
Substituindo os valores:
p2 = 5,00 times 10^4 + 12 times 1000 times (3,0^2 - 0,75^2) + 1000 times 9,81 times 11
p2 = 5,00 times 10^4 + 500 times (9 - 0,5625) + 107910
p2 = 5,00 times 10^4 + 4218,75 + 107910
p2 approx 1,62 times 10^5 , Pa

Passo 4

Agora, para a parte (b), queremos encontrar a potência da água no ponto mais baixo. A potência ( P) pode ser calculada usando:
P = p2 times Q
Onde Q é a vazão volumétrica, que é dada por:
Q = A2 times v2
Primeiro, calculamos a área A2:
A2 = pi D2^24 = pi (0,360)^24 approx 0,102 , m^2
Então, a vazão Q é:
Q = 0,102 times 0,75 approx 0,077 , m^3/s
Agora, calculando a potência:
P = 1,62 times 10^5 times 0,077 approx 12474 , W approx 12,5 , kW

Resposta

(a) A pressão manométrica no segundo ponto é aproximadamente 1,62 times 10^5 , Pa.
(b) A potência da água no ponto mais baixo é aproximadamente 12,5 , kW.

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