Um cilindro maciço de aço (
) com 1 m de comprimento é solicitado, torcendo de
. Se a tensão tangencial não excede 60 MPa , determine:
a) O diâmetro permissível máximo para a peça;
b) A tensão normal sobre um plano
, o qual é normal à superfície da peça no ponto
e tem uma inclinação de 3 para 4 com o eixo longitudinal quando a tensão tangencial máxima na peça é de 60 MPa .
a) O diâmetro permissível máximo para a peça;
b) A tensão normal sobre um plano
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre torção em cilindros sólidos de aço. A matéria envolvida é a Mecânica dos Materiais, especificamente o estudo da torção em eixos circulares. Para resolver este problema, vamos precisar usar a fórmula que relaciona o torque aplicado, o módulo de rigidez do material, o momento polar de inércia e o ângulo de torção. Também vamos precisar entender como calcular tensões em planos inclinados.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as informações dadas no problema:
- Módulo de rigidez do aço,
(gigapascals) - Comprimento do cilindro,
- Ângulo de torção,
- Tensão tangencial máxima permitida,
(megapascals)
Queremos encontrar o diâmetro máximo permissível para o cilindro (parte a) e a tensão normal em um plano inclinado (parte b).
Passo 3
Vamos começar com a parte a), que pede o diâmetro máximo permissível.
A fórmula da torção para um eixo circular sólido é:
Onde:
-
é o ângulo de torção -
é o torque aplicado -
é o comprimento do eixo -
é o módulo de rigidez -
é o momento polar de inércia
Também sabemos que a tensão tangencial máxima é dada por:
Onde
é o raio do cilindro.
Nosso objetivo é encontrar o diâmetro
, sabendo que
.
Passo 4
Vamos expressar o momento polar de inércia
para um eixo circular sólido:
Agora, podemos relacionar as duas equações para eliminar
e resolver para
.
Primeiro, da equação do ângulo de torção:
Substituindo
na equação da tensão tangencial máxima:
Simplificando:
Agora, resolvemos para
:
E, portanto, o diâmetro
será:
Passo 5
Vamos substituir os valores numéricos na equação para encontrar
:
Calculando o numerador e o denominador:
Numerador:
Denominador:
Então:
Convertendo para centímetros:
Passo 6
Agora, vamos para a parte b), que pede a tensão normal em um plano inclinado.
Quando um eixo está submetido à torção, as tensões principais na superfície são puramente de cisalhamento (tangenciais). Contudo, se considerarmos um plano inclinado em relação ao eixo, podemos usar as transformações de tensão para encontrar a tensão normal neste plano.
A inclinação dada é 3 para 4, o que significa que o ângulo
de inclinação é tal que:
As tensões em um plano inclinado podem ser encontradas usando as fórmulas de transformação de tensões:
No caso da torção pura em um eixo circular sólido, as tensões normais
e
são zero, e a única tensão presente é a de cisalhamento
.
Portanto, a fórmula simplifica para:
Passo 7
Substituindo os valores:
Sabemos que
e
.
Primeiro, calculamos
:
Então:
Resposta
a) O diâmetro máximo permissível para a peça é de 5 cm.
b) A tensão normal sobre o plano a-a é aproximadamente 57,38 MPa.
Exercícios relacionados
Determinar para cada uma das barras indicadas, o maior valor do torque
que pode ser aplicado, e o correspondente ângulo de torção. Adotar
e
.
Um momento torque desconhecido
é aplicado na junção dos dois segmentos, como indicado. As tensões tangenciais admissíveis são 130 MPa para o aço e 40 MPa para o bronze. O módulo de elasticidade transversal para o aço é 80 GPa e para o bronze é 40 GPa .
Determine o valor máximo admissível para .
Determine o valor máximo admissível para
O segmento de eixo
está inicialmente desconectado do segmento
. O momento torque inicial
é aplicado em
, e então os dois segmentos são conectados em
, e em seguida o momento torque
é retirado. Determine a tensão tangencial resultante máxima no segmento
após o torque
ter sido removido. Os módulos de elasticidade transversal são 40 GPa para
e 80 GPa para
.
A extremidade
da barra de aço inoxidável indicada gira de
pela ação do torque
. Sabendo-se que
, determinar a máxima tensão de cisalhamento da barra.