Um cilindro maciço de aço ( G=80 GPa ) com 1 m de comprimento é solicitado, torcendo de 0,03 rad. Se a tensão tangencial não excede 60 MPa , determine:
a) O diâmetro permissível máximo para a peça;
b) A tensão normal sobre um plano a-a, o qual é normal à superfície da peça no ponto A e tem uma inclinação de 3 para 4 com o eixo longitudinal quando a tensão tangencial máxima na peça é de 60 MPa .

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre torção em cilindros sólidos de aço. A matéria envolvida é a Mecânica dos Materiais, especificamente o estudo da torção em eixos circulares. Para resolver este problema, vamos precisar usar a fórmula que relaciona o torque aplicado, o módulo de rigidez do material, o momento polar de inércia e o ângulo de torção. Também vamos precisar entender como calcular tensões em planos inclinados.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações dadas no problema:
  • Módulo de rigidez do aço, (gigapascals)
  • Comprimento do cilindro,
  • Ângulo de torção,
  • Tensão tangencial máxima permitida, á (megapascals)
Queremos encontrar o diâmetro máximo permissível para o cilindro (parte a) e a tensão normal em um plano inclinado (parte b).

Passo 3

Vamos começar com a parte a), que pede o diâmetro máximo permissível.
A fórmula da torção para um eixo circular sólido é:
theta = T cdot LG cdot J
Onde:
  • taumáx = T cdot rJ é o ângulo de torção
  • é o torque aplicado
  • é o comprimento do eixo
  • é o módulo de rigidez
  • é o momento polar de inércia
Também sabemos que a tensão tangencial máxima é dada por:
á
Onde é o raio do cilindro.
Nosso objetivo é encontrar o diâmetro , sabendo que .

Passo 4

Vamos expressar o momento polar de inércia J = pi cdot d^432 para um eixo circular sólido:
T = G cdot J cdot thetaL
Agora, podemos relacionar as duas equações para eliminar taumáx = ( G cdot J cdot thetaL ) cdot rJ = G cdot theta cdot rL e resolver para taumáx = G cdot theta cdot rL .
Primeiro, da equação do ângulo de torção:
r = taumáx cdot LG cdot theta
Substituindo d = 2r = 2 cdot taumáx cdot LG cdot theta na equação da tensão tangencial máxima:
á
Simplificando:
á
Agora, resolvemos para :
á
E, portanto, o diâmetro será:
á

Passo 5

Vamos substituir os valores numéricos na equação para encontrar d = 2 cdot 60 times 10^6 , Pa cdot 1 , m80 times 10^9 , Pa cdot 0,03 , rad :
d = 2 cdot 60 times 10^62,4 times 10^9 = 2 cdot 0,025 = 0,05 , m
Calculando o numerador e o denominador:
Numerador: 0,05 , m = 5 , cm
Denominador:
Então:
Convertendo para centímetros:

Passo 6

Agora, vamos para a parte b), que pede a tensão normal em um plano inclinado.
Quando um eixo está submetido à torção, as tensões principais na superfície são puramente de cisalhamento (tangenciais). Contudo, se considerarmos um plano inclinado em relação ao eixo, podemos usar as transformações de tensão para encontrar a tensão normal neste plano.
A inclinação dada é 3 para 4, o que significa que o ângulo tan(phi) = 34 implies phi = arctan(34) approx 36,87^circ de inclinação é tal que:
sigman = sigmax cos^2(phi) + sigmay sin^2(phi) + tauxy sin(2phi)
As tensões em um plano inclinado podem ser encontradas usando as fórmulas de transformação de tensões:
sigman = tauxy sin(2phi)
No caso da torção pura em um eixo circular sólido, as tensões normais e são zero, e a única tensão presente é a de cisalhamento .
Portanto, a fórmula simplifica para:

Passo 7

Substituindo os valores:
Sabemos que sin(2 times 36,87^circ) = sin(73,74^circ) approx 0,9563 e sigman = 60 times 0,9563 approx 57,38 , MPa .
Primeiro, calculamos :
Então:

Resposta

a) O diâmetro máximo permissível para a peça é de 5 cm.
b) A tensão normal sobre o plano a-a é aproximadamente 57,38 MPa.

Exercícios relacionados