O segmento de eixo A B está inicialmente desconectado do segmento B C. O momento torque inicial To é aplicado em D, e então os dois segmentos são conectados em B, e em seguida o momento torque To é retirado. Determine a tensão tangencial resultante máxima no segmento B C após o torque T0 ter sido removido. Os módulos de elasticidade transversal são 40 GPa para A B e 80 GPa para B C.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois segmentos, e , que inicialmente estão desconectados. Um torque é aplicado no ponto . Depois, conectamos e no ponto e removemos o torque . Precisamos encontrar a tensão tangencial máxima no segmento após remover o torque. Para resolver isso, vamos usar conceitos de torque e elasticidade transversal.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como o torque afeta os segmentos e . Quando aplicamos um torque , ele causa uma rotação nos segmentos. A elasticidade transversal nos diz como esses materiais vão se deformar sob esse torque. Os módulos de elasticidade transversal são para e para .

Passo 3

Vamos calcular a deformação que cada segmento sofre devido ao torque. A deformação angular theta = T cdot LG cdot J para um segmento sujeito a um torque é dada por:
onde:
  • é o comprimento do segmento,
  • é o módulo de elasticidade transversal,
  • é o momento de inércia polar da seção transversal.
Como não temos os valores de e , vamos considerar que eles são iguais para ambos os segmentos para simplificar a análise.

Passo 4

Quando os segmentos TAB cdot LGAB cdot J = TBC cdot LGBC cdot J e TABGAB = TBCGBC são conectados, eles compartilham a mesma deformação angular . Portanto, podemos igualar as deformações:
Simplificando, temos:

Passo 5

Sabemos que o torque total TAB + TBC = To é distribuído entre TBC = To - TAB e TABGAB = To - TABGBC :
Agora, usando a relação da deformação, temos:
Substituindo na equação anterior:

Passo 6

Vamos resolver para TAB cdot GBC = (To - TAB) cdot GAB :
TAB cdot GBC + TAB cdot GAB = To cdot GAB
TAB (GBC + GAB) = To cdot GAB
TAB = To cdot GABGAB + GBC

Passo 7

Agora, substituímos os valores dos módulos de elasticidade:
TAB = To cdot 40 times 10^940 times 10^9 + 80 times 10^9 = To cdot 40120 = To3
Então,
TBC = To - To3 = 2To3

Passo 8

A tensão tangencial tau = TBC cdot rJ no segmento está relacionada ao torque pela fórmula:
Como queremos a tensão máxima e considerando que a distribuição é linear, a tensão máxima ocorre na superfície externa, onde é máximo. Novamente, sem os valores específicos de e , vamos considerar que a tensão máxima é proporcional ao torque aplicado.
Portanto, a tensão tangencial máxima no segmento é proporcional a , que já calculamos.

Resposta

A tensão tangencial resultante máxima no segmento após a remoção do torque é .

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