Um cilindro maciço, longo e isolante, com raio de 4,0 cm, possui uma densidade volumétrica de carga não uniforme rho(r), que é uma função da distância radial r a partir do cixo central do cilindro, dada por: rho(r)=A r^2. Se A=1,25 ^1 C / m^5, determine o módulo do campo elétrico:
(a) em r=3,0 cm,

Passo 1

Primeiro, vamos entender o problema. Temos um cilindro longo e isolante com raio de 4,0 cm. A densidade de carga não é uniforme e é dada pela função rho(r) = A r^2, onde A = 1,25 times 10^1 , C/m^5. Nosso objetivo é determinar o módulo do campo elétrico no ponto onde a distância radial r = 3,0 , cm. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que nos ajuda a encontrar campos elétricos para distribuições de carga com certa simetria.

Passo 2

Vamos escolher uma superfície gaussiana apropriada. Como o cilindro é longo e a densidade de carga depende apenas da distância radial r, a simetria do problema é cilíndrica. Portanto, escolhemos uma superfície gaussiana que é um cilindro coaxial com o cilindro carregado, com raio r = 3,0 , cm e comprimento L.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a carga elétrica total Qenc contida dentro da superfície gaussiana. A densidade de carga é rho(r) = A r^2, então a carga dentro de um pequeno elemento de volume dV é dq = rho(r) , dV. Em coordenadas cilíndricas, dV = 2pi r L , dr. Integrando de r = 0 até r = 3,0 , cm:
Qenc = integral0^3,0 , cm rho(r) cdot 2pi r L , dr = 2pi A L integral0^0,03 , m r^3 , dr

Passo 4

Vamos resolver a integral:
integral0^0,03 r^3 , dr = [ r^44 ]0^0,03 = (0,03)^44 = 8,1 times 10^-74 = 2,025 times 10^-7 , m^4
Então,
Qenc = 2pi times 1,25 times 10^1 times L times 2,025 times 10^-7 = 2pi times 1,25 times 10^1 times 2,025 times 10^-7 times L
Calculando os valores numéricos:
Qenc = 2pi times 1,25 times 2,025 times 10^-6 times L approx 1,59 times 10^-5 times L , C

Passo 5

Aplicamos a Lei de Gauss, que diz que o fluxo elétrico PhiE através da superfície gaussiana é igual à carga encerrada dividida pela permissividade do vácuo varepsilon0:
PhiE = Qencvarepsilon0
Sabemos que para nossa superfície gaussiana cilíndrica, o fluxo é PhiE = E cdot 2pi r L, já que o campo elétrico E é constante na superfície e perpendicular a ela. Então:
E cdot 2pi r L = Qencvarepsilon0
Substituindo Qenc:
E cdot 2pi times 0,03 times L = 1,59 times 10^-5 times L8,85 times 10^-12

Passo 6

Simplificamos a equação cancelando L dos dois lados:
E cdot 2pi times 0,03 = 1,59 times 10^-58,85 times 10^-12
Calculando o lado direito:
1,59 times 10^-58,85 times 10^-12 approx 1,7966 times 10^6 , V/m
Então,
E cdot 0,1885 approx 1,7966 times 10^6
E approx 1,7966 times 10^60,1885 approx 9,52 times 10^6 , V/m

Resposta

O módulo do campo elétrico em r = 3,0 , cm é aproximadamente 9,52 times 10^6 , V/m.

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