Um cilindro maciço, longo e isolante, com raio de
, possui uma densidade volumétrica de carga não uniforme
, que é uma função da distância radial
a partir do cixo central do cilindro, dada por:
. Se
, determine o módulo do campo elétrico:
(a)
,
(a)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o problema. Temos um cilindro longo e isolante com raio de 4,0 cm. A densidade de carga não é uniforme e é dada pela função
, onde
. Nosso objetivo é determinar o módulo do campo elétrico no ponto onde a distância radial
. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que nos ajuda a encontrar campos elétricos para distribuições de carga com certa simetria.
Passo 2
Vamos escolher uma superfície gaussiana apropriada. Como o cilindro é longo e a densidade de carga depende apenas da distância radial
, a simetria do problema é cilíndrica. Portanto, escolhemos uma superfície gaussiana que é um cilindro coaxial com o cilindro carregado, com raio
e comprimento
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a carga elétrica total
contida dentro da superfície gaussiana. A densidade de carga é
, então a carga dentro de um pequeno elemento de volume
é
. Em coordenadas cilíndricas,
. Integrando de
até
:
Passo 4
Vamos resolver a integral:
Então,
Calculando os valores numéricos:
Passo 5
Aplicamos a Lei de Gauss, que diz que o fluxo elétrico
através da superfície gaussiana é igual à carga encerrada dividida pela permissividade do vácuo
:
Sabemos que para nossa superfície gaussiana cilíndrica, o fluxo é
, já que o campo elétrico
é constante na superfície e perpendicular a ela. Então:
Substituindo
:
Passo 6
Simplificamos a equação cancelando
dos dois lados:
Calculando o lado direito:
Então,
Resposta
O módulo do campo elétrico em
é aproximadamente
.