Um cilindro maciço, longo e isolante, com raio de , possui uma densidade volumétrica de carga não uniforme , que é uma função da distância radial a partir do cixo central do cilindro, dada por: . Se , determine o módulo do campo elétrico:
© .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um cilindro longo e isolante com raio de 4,0 cm, e a densidade de carga não é uniforme, depende de segundo a fórmula , onde . A missão aqui é encontrar o módulo do campo elétrico quando estamos a 5,0 cm do eixo central desse cilindro. Vamos usar a Lei de Gauss da Eletrostática para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, como estamos lidando com simetria cilíndrica, a melhor aposta é escolher uma superfície gaussiana que também seja um cilindro coaxial com o cilindro de carga. Isso facilita porque o campo elétrico vai ser radial e constante em todas as partes da superfície gaussiana, graças à simetria.

Passo 3

Agora, vamos calcular o fluxo elétrico através da superfície gaussiana. A Lei de Gauss nos diz que:
onde é o módulo do campo elétrico que queremos encontrar, é o raio da superfície gaussiana, e é o comprimento do cilindro. A área lateral do cilindro gaussiano é .

Passo 4

Precisamos calcular a carga total dentro da superfície gaussiana. Como o cilindro de carga tem raio de 4,0 cm, e nossa superfície gaussiana está a 5,0 cm, toda a carga do cilindro está dentro da gaussiana. A carga total é a integral da densidade de carga sobre o volume do cilindro:
Substituindo :
Calculando a integral:
Então:

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss:
Isolando :
Sabendo que :

Resposta

O módulo do campo elétrico em é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Dados dois vetores e , ambos dados em km, forneça todas as respostas em unidades SI e notação científica:
a) ache o módulo de cada vetor;
c) Compare os módulos obtidos em b), com os módulos obtidos a partir da notação vetorial encontrada em a). R:
Duas cargas pontuais e estão localizadas sobre o eixo , e , respectivamente. Determine:
(b) o módulo do campo elétrico no ponto intermediário entre as cargas.
Duas cargas pontuais e estão localizadas sobre o eixo , e , respectivamente. Determine:
(b) o potencial eletrostático no ponto intermediário entre as cargas.