Beleza, vamos lá! A gente tem um cilindro longo e isolante com raio de 4,0 cm, e a densidade de carga não é uniforme, depende de segundo a fórmula , onde . A missão aqui é encontrar o módulo do campo elétrico quando estamos a 5,0 cm do eixo central desse cilindro. Vamos usar a Lei de Gauss da Eletrostática para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, como estamos lidando com simetria cilíndrica, a melhor aposta é escolher uma superfície gaussiana que também seja um cilindro coaxial com o cilindro de carga. Isso facilita porque o campo elétrico vai ser radial e constante em todas as partes da superfície gaussiana, graças à simetria.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fluxo elétrico através da superfície gaussiana. A Lei de Gauss nos diz que:
onde é o módulo do campo elétrico que queremos encontrar, é o raio da superfície gaussiana, e é o comprimento do cilindro. A área lateral do cilindro gaussiano é .
Passo 4
Precisamos calcular a carga total dentro da superfície gaussiana. Como o cilindro de carga tem raio de 4,0 cm, e nossa superfície gaussiana está a 5,0 cm, toda a carga do cilindro está dentro da gaussiana. A carga total é a integral da densidade de carga sobre o volume do cilindro:
Substituindo :
Calculando a integral:
Então:
Passo 5
Aplicando a Lei de Gauss:
PhiE = Qvarepsilon0 Rightarrow E cdot (2pi r L) = 1,6 times 10^-4 pi Lvarepsilon0
Isolando E = 1,6 times 10^-4 pi L2pi r L varepsilon0 = 1,6 times 10^-42 times 0,05 times varepsilon0 = 1,6 times 10^-40,1 varepsilon0 :
E = 1,6 times 10^-40,1 times 8,85 times 10^-12 = 1,6 times 10^-48,85 times 10^-13 approx 1,81 times 10^8 , N/C