Um cilindro maciço, longo e isolante, com raio de 4,0 cm, possui uma densidade volumétrica de carga não uniforme rho(r), que é uma função da distância radial r a partir do cixo central do cilindro, dada por: rho(r)=A r^2. Se A=1,25 ^1 C / m^5, determine o módulo do campo elétrico:
© em r=5,0 cm.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um cilindro longo e isolante com raio de 4,0 cm, e a densidade de carga não é uniforme, depende de segundo a fórmula , onde . A missão aqui é encontrar o módulo do campo elétrico quando estamos a 5,0 cm do eixo central desse cilindro. Vamos usar a Lei de Gauss da Eletrostática para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, como estamos lidando com simetria cilíndrica, a melhor aposta é escolher uma superfície gaussiana que também seja um cilindro coaxial com o cilindro de carga. Isso facilita porque o campo elétrico vai ser radial e constante em todas as partes da superfície gaussiana, graças à simetria.

Passo 3

Agora, vamos calcular o fluxo elétrico através da superfície gaussiana. A Lei de Gauss nos diz que:
PhiE = oint E cdot dA = E cdot (2pi r L)
onde é o módulo do campo elétrico que queremos encontrar, é o raio da superfície gaussiana, e é o comprimento do cilindro. A área lateral do cilindro gaussiano é .

Passo 4

Precisamos calcular a carga total Q = integral0^R rho(r) cdot 2pi r L , dr = 2pi L integral0^0,04 A r^3 , dr dentro da superfície gaussiana. Como o cilindro de carga tem raio de 4,0 cm, e nossa superfície gaussiana está a 5,0 cm, toda a carga do cilindro está dentro da gaussiana. A carga total é a integral da densidade de carga sobre o volume do cilindro:
Q = 2pi L times 1,25 times 10^1 integral0^0,04 r^3 , dr
Substituindo integral r^3 , dr = r^44 Rightarrow r^44 |0^0,04 = (0,04)^44 = 2.56 times 10^-64 = 6,4 times 10^-7 , m^4 :
Q = 2pi L times 1,25 times 10^1 times 6,4 times 10^-7 = 2pi L times 8 times 10^-6 = 1,6 times 10^-4 pi L , C
Calculando a integral:
Então:

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss:
PhiE = Qvarepsilon0 Rightarrow E cdot (2pi r L) = 1,6 times 10^-4 pi Lvarepsilon0
Isolando E = 1,6 times 10^-4 pi L2pi r L varepsilon0 = 1,6 times 10^-42 times 0,05 times varepsilon0 = 1,6 times 10^-40,1 varepsilon0 :
E = 1,6 times 10^-40,1 times 8,85 times 10^-12 = 1,6 times 10^-48,85 times 10^-13 approx 1,81 times 10^8 , N/C
Sabendo que :

Resposta

O módulo do campo elétrico em é aproximadamente .

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