Um cilindro maciço, longo e isolante, com raio de 4,0 cm, possui uma densidade volumétrica de carga não uniforme rho(r), que é uma função da distância radial r a partir do cixo central do cilindro, dada por: rho(r)=A r^2. Se A=1,25 ^1 C / m^5, determine o módulo do campo elétrico:
(b) em r=4,0 cm,

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um cilindro longo e isolante com raio de 4,0 cm. A carga elétrica dentro desse cilindro não é distribuída de forma uniforme; ela varia com a distância do centro, seguindo a função rho(r) = A r^2, onde A = 1,25 times 10^1 , C/m^5. Nosso objetivo aqui é determinar o módulo do campo elétrico E no ponto onde r = 4,0 , cm. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos em situações com simetria.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico total passando por uma superfície fechada (a chamada superfície gaussiana) é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante dielétrica do vácuo, varepsilon0. Matematicamente, fica assim:
oint E cdot dA = Qinternovarepsilon0
Como nosso cilindro tem simetria cilíndrica, vamos escolher uma superfície gaussiana que também seja um cilindro coaxial com o cilindro carregado, com raio r = 4,0 , cm e comprimento L.

Passo 3

Agora, vamos calcular o fluxo elétrico através dessa superfície gaussiana. Devido à simetria, o campo elétrico E tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície lateral do cilindro gaussiano e é perpendicular a ela. Nas bases do cilindro gaussiano, o campo elétrico é paralelo à superfície, então o fluxo através dessas áreas é zero. Portanto, o fluxo total é:
Phi = E cdot (2pi r L)
Onde 2pi r L é a área lateral do cilindro gaussiano.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a carga total Qinterno dentro da superfície gaussiana. A densidade volumétrica de carga é dada por rho(r) = A r^2. Para encontrar a carga total, integramos rho(r) sobre o volume dentro do cilindro gaussiano:
Qinterno = integral0^L integral0^2pi integral0^r rho(r') r' , dr' , dtheta , dz
Como a densidade de carga depende apenas de r', a integração fica:
Qinterno = A integral0^r r'^3 , dr' cdot (2pi L) = A cdot r^44 cdot 2pi L
Simplificando:
Qinterno = A pi r^4 L2

Passo 5

Agora, aplicamos a Lei de Gauss. Igualamos o fluxo elétrico ao valor obtido pela carga interna:
E cdot (2pi r L) = Qinternovarepsilon0 = A pi r^4 L2 varepsilon0
Podemos cancelar pi, L e simplificar:
E cdot 2 r = A r^42 varepsilon0
Resolvendo para E:
E = A r^34 varepsilon0

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores numéricos. Primeiro, convertemos o raio para metros:
r = 4,0 , cm = 0,04 , m
Substituindo os valores:
E = 1,25 times 10^1 times (0,04)^34 times 8,85 times 10^-12 , N/C
Calculando o numerador:
1,25 times 10^1 times (0,04)^3 = 1,25 times 10^1 times 6,4 times 10^-5 = 8 times 10^-4
Então:
E = 8 times 10^-44 times 8,85 times 10^-12 = 8 times 10^-43,54 times 10^-11 approx 2,26 times 10^7 , N/C

Resposta

O módulo do campo elétrico em r = 4,0 , cm é aproximadamente 2,26 times 10^7 , N/C.

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