Um cilindro maciço, longo e isolante, com raio de , possui uma densidade volumétrica de carga não uniforme , que é uma função da distância radial a partir do cixo central do cilindro, dada por: . Se , determine o módulo do campo elétrico:
(b) ,

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um cilindro longo e isolante com raio de 4,0 cm. A carga elétrica dentro desse cilindro não é distribuída de forma uniforme; ela varia com a distância do centro, seguindo a função , onde . Nosso objetivo aqui é determinar o módulo do campo elétrico no ponto onde . Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos em situações com simetria.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico total passando por uma superfície fechada (a chamada superfície gaussiana) é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante dielétrica do vácuo, . Matematicamente, fica assim:
Como nosso cilindro tem simetria cilíndrica, vamos escolher uma superfície gaussiana que também seja um cilindro coaxial com o cilindro carregado, com raio e comprimento .

Passo 3

Agora, vamos calcular o fluxo elétrico através dessa superfície gaussiana. Devido à simetria, o campo elétrico tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície lateral do cilindro gaussiano e é perpendicular a ela. Nas bases do cilindro gaussiano, o campo elétrico é paralelo à superfície, então o fluxo através dessas áreas é zero. Portanto, o fluxo total é:
Onde é a área lateral do cilindro gaussiano.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a carga total dentro da superfície gaussiana. A densidade volumétrica de carga é dada por . Para encontrar a carga total, integramos sobre o volume dentro do cilindro gaussiano:
Como a densidade de carga depende apenas de , a integração fica:
Simplificando:

Passo 5

Agora, aplicamos a Lei de Gauss. Igualamos o fluxo elétrico ao valor obtido pela carga interna:
Podemos cancelar , e simplificar:
Resolvendo para :

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores numéricos. Primeiro, convertemos o raio para metros:
Substituindo os valores:
Calculando o numerador:
Então:

Resposta

O módulo do campo elétrico em é aproximadamente .

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