Um cilindro maciço, longo e isolante, com raio de
, possui uma densidade volumétrica de carga não uniforme
, que é uma função da distância radial
a partir do cixo central do cilindro, dada por:
. Se
, determine o módulo do campo elétrico:
(b)
,
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um cilindro longo e isolante com raio de 4,0 cm. A carga elétrica dentro desse cilindro não é distribuída de forma uniforme; ela varia com a distância do centro, seguindo a função
, onde
. Nosso objetivo aqui é determinar o módulo do campo elétrico
no ponto onde
. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos em situações com simetria.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico total passando por uma superfície fechada (a chamada superfície gaussiana) é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante dielétrica do vácuo,
. Matematicamente, fica assim:
Como nosso cilindro tem simetria cilíndrica, vamos escolher uma superfície gaussiana que também seja um cilindro coaxial com o cilindro carregado, com raio
e comprimento
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fluxo elétrico através dessa superfície gaussiana. Devido à simetria, o campo elétrico
tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície lateral do cilindro gaussiano e é perpendicular a ela. Nas bases do cilindro gaussiano, o campo elétrico é paralelo à superfície, então o fluxo através dessas áreas é zero. Portanto, o fluxo total é:
Onde
é a área lateral do cilindro gaussiano.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a carga total
dentro da superfície gaussiana. A densidade volumétrica de carga é dada por
. Para encontrar a carga total, integramos
sobre o volume dentro do cilindro gaussiano:
Como a densidade de carga depende apenas de
, a integração fica:
Simplificando:
Passo 5
Agora, aplicamos a Lei de Gauss. Igualamos o fluxo elétrico ao valor obtido pela carga interna:
Podemos cancelar
,
e simplificar:
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora, vamos substituir os valores numéricos. Primeiro, convertemos o raio para metros:
Substituindo os valores:
Calculando o numerador:
Então:
Resposta
O módulo do campo elétrico em
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Duas cargas pontuais
e
estão localizadas sobre o eixo
,
e
, respectivamente. Determine:
(b) o potencial eletrostático no ponto intermediário entre as cargas.
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Duas cargas pontuais
e
estão localizadas sobre o eixo
,
e
, respectivamente. Determine:
(b) o módulo do campo elétrico no ponto intermediário entre as cargas.
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No lançamento de um projétil do solo, a velocidade inicial (
) forma com a horizontal um ângulo
. Desprezando a resistência do ar e usando
. Determine