No lançamento de um projétil do solo, a velocidade inicial ( v0=70 m / s ) forma com a horizontal um ângulo theta=53,1^circ. Desprezando a resistência do ar e usando g=9,81 m / s^2. Determine

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de lançamento de projétil! A gente tem uma velocidade inicial de v0 = 70, m/s que forma um ângulo de theta = 53,1^circ com a horizontal. A gente vai usar as leis do movimento para calcular coisas como o alcance, o tempo de voo e a altura máxima que o projétil alcança. Para isso, vamos precisar de trigonometria básica e das equações do movimento uniformemente variado.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial nas componentes horizontal e vertical. Isso é importante porque o movimento do projétil pode ser analisado separadamente nessas duas direções.
A componente horizontal é dada por:
v0x = v0 cdot cos(theta)
E a componente vertical é:
v0y = v0 cdot sin(theta)

Passo 3

Vamos calcular essas componentes com os valores que temos:
v0x = 70, m/s cdot cos(53,1^circ) approx 70, m/s cdot 0,6 = 42, m/s
v0y = 70, m/s cdot sin(53,1^circ) approx 70, m/s cdot 0,8 = 56, m/s

Passo 4

Agora, vamos calcular o tempo total de voo do projétil. O tempo de subida é quando o projétil vai até a altura máxima, e o tempo total de voo é o dobro disso, já que a descida leva o mesmo tempo da subida (ignorando a resistência do ar).
O tempo de subida ( tsubida) é dado por:
tsubida = v0yg = 56, m/s9,81, m/s^2 approx 5,71, s
Então, o tempo total de voo ( ttotal) é:
ttotal = 2 cdot tsubida approx 2 cdot 5,71, s = 11,42, s

Passo 5

Vamos calcular agora o alcance horizontal do projétil, que é a distância que ele percorre no chão durante o tempo total de voo. Como não há aceleração na direção horizontal, o alcance ( R) é simplesmente a velocidade horizontal multiplicada pelo tempo total de voo.
R = v0x cdot ttotal = 42, m/s cdot 11,42, s approx 480, m

Passo 6

Por fim, vamos determinar a altura máxima alcançada pelo projétil. Isso acontece no ponto mais alto da trajetória, e podemos calcular usando a componente vertical da velocidade.
A altura máxima ( H) é dada por:
H = v0y^22g = (56, m/s)^22 cdot 9,81, m/s^2 approx 313619,62 approx 160, m

Resposta

O alcance do projétil é de aproximadamente 480, m, o tempo total de voo é de cerca de 11,42, s e a altura máxima alcançada é de aproximadamente 160, m.

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