Um cilindro maciço de masa 300 g (momento de inércia
) está preso a uma mola de constante
rola sem deslizar em uma superfície horizontal. Se o sistema é liberado a partir do repouso quando a mola está distendida de
, obtenha a frequência
de oscilação deste cilindro.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um cilindro de 300 g preso a uma mola com constante
que rola sem deslizar em uma superfície horizontal. Quando a mola está esticada em 0,150 m e a gente solta o sistema do repouso, queremos descobrir a frequência de oscilação
desse cilindro.
Vamos usar conceitos de mecânica vibracional e movimento rotacional para resolver isso. Precisamos entender como a energia está distribuída entre o movimento de translação e o de rotação do cilindro.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a massa do cilindro de gramas para quilogramas para facilitar os cálculos:
Passo 3
A mola está esticada em
, então a energia potencial armazenada na mola é dada por:
Vamos calcular essa energia:
Passo 4
Como o cilindro está rolando sem deslizar, toda essa energia vai se dividir entre a energia cinética de translação e a energia cinética de rotação. A energia cinética total
é:
Aqui,
é a velocidade de translação do centro de massa,
é o momento de inércia do cilindro, e
é a velocidade angular. Como está rolando sem deslizar, temos a relação:
Substituindo
:
Passo 5
No ponto de máxima extensão da mola, toda a energia é potencial elástica e será convertida na energia cinética do cilindro. Então:
Podemos rearranjar para encontrar a velocidade máxima
:
Passo 6
A frequência de oscilação
está relacionada com a velocidade e a amplitude das oscilações. Sabemos que para um sistema massa-mola, a frequência angular é:
No nosso caso, devido à rotação, a massa efetiva aumenta. Comparando com a energia cinética total, podemos considerar:
Passo 7
Agora é só substituir os valores que temos:
Resposta
A frequência de oscilação do cilindro é aproximadamente
.