Um cilindro maciço de masa 300 g (momento de inércia I= M R^2 / 2 ) está preso a uma mola de constante k=5,00 N / m rola sem deslizar em uma superfície horizontal. Se o sistema é liberado a partir do repouso quando a mola está distendida de 0,150 m, obtenha a frequência w de oscilação deste cilindro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um cilindro de 300 g preso a uma mola com constante que rola sem deslizar em uma superfície horizontal. Quando a mola está esticada em 0,150 m e a gente solta o sistema do repouso, queremos descobrir a frequência de oscilação desse cilindro.
Vamos usar conceitos de mecânica vibracional e movimento rotacional para resolver isso. Precisamos entender como a energia está distribuída entre o movimento de translação e o de rotação do cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a massa do cilindro de gramas para quilogramas para facilitar os cálculos:
M = 300 , g = 0,300 , kg

Passo 3

A mola está esticada em U = 12 k x^2 , então a energia potencial armazenada na mola é dada por:
U = 12 times 5,00 , N/m times (0,150 , m)^2 = 12 times 5,00 times 0,0225 = 0,05625 , J
Vamos calcular essa energia:

Passo 4

Como o cilindro está rolando sem deslizar, toda essa energia vai se dividir entre a energia cinética de translação e a energia cinética de rotação. A energia cinética total E = 12 M v^2 + 12 I omegar^2 é:
v = R omegar
Aqui, E = 12 M v^2 + 12 ( 12 M R^2 ) ( vR )^2 = 12 M v^2 + 14 M v^2 = 34 M v^2 é a velocidade de translação do centro de massa, é o momento de inércia do cilindro, e é a velocidade angular. Como está rolando sem deslizar, temos a relação:
Substituindo :

Passo 5

No ponto de máxima extensão da mola, toda a energia é potencial elástica e será convertida na energia cinética do cilindro. Então:
12 k x^2 = 34 M v^2
Podemos rearranjar para encontrar a velocidade máxima v^2 = 2 k x^23 M :
v = raiz 2 k x^23 M

Passo 6

A frequência de oscilação omega = raiz kefetivaMefetiva está relacionada com a velocidade e a amplitude das oscilações. Sabemos que para um sistema massa-mola, a frequência angular é:
omega = raiz k32 M = raiz 2 k3 M
No nosso caso, devido à rotação, a massa efetiva aumenta. Comparando com a energia cinética total, podemos considerar:

Passo 7

Agora é só substituir os valores que temos:
k = 5,00 , N/m
M = 0,300 , kg
omega = raiz 2 times 5,003 times 0,300 = raiz 10,000,900 = raiz11,11 approx 3,33 , rad/s

Resposta

A frequência de oscilação do cilindro é aproximadamente .

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