Um cilindro maciço de masa 300 g (momento de inércia ) está preso a uma mola de constante rola sem deslizar em uma superfície horizontal. Se o sistema é liberado a partir do repouso quando a mola está distendida de , obtenha a frequência de oscilação deste cilindro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um cilindro de 300 g preso a uma mola com constante que rola sem deslizar em uma superfície horizontal. Quando a mola está esticada em 0,150 m e a gente solta o sistema do repouso, queremos descobrir a frequência de oscilação desse cilindro.
Vamos usar conceitos de mecânica vibracional e movimento rotacional para resolver isso. Precisamos entender como a energia está distribuída entre o movimento de translação e o de rotação do cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a massa do cilindro de gramas para quilogramas para facilitar os cálculos:

Passo 3

A mola está esticada em , então a energia potencial armazenada na mola é dada por:
Vamos calcular essa energia:

Passo 4

Como o cilindro está rolando sem deslizar, toda essa energia vai se dividir entre a energia cinética de translação e a energia cinética de rotação. A energia cinética total é:
Aqui, é a velocidade de translação do centro de massa, é o momento de inércia do cilindro, e é a velocidade angular. Como está rolando sem deslizar, temos a relação:
Substituindo :

Passo 5

No ponto de máxima extensão da mola, toda a energia é potencial elástica e será convertida na energia cinética do cilindro. Então:
Podemos rearranjar para encontrar a velocidade máxima :

Passo 6

A frequência de oscilação está relacionada com a velocidade e a amplitude das oscilações. Sabemos que para um sistema massa-mola, a frequência angular é:
No nosso caso, devido à rotação, a massa efetiva aumenta. Comparando com a energia cinética total, podemos considerar:

Passo 7

Agora é só substituir os valores que temos:

Resposta

A frequência de oscilação do cilindro é aproximadamente .

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