Quando uma criança de massa m se balança em um balanço de tamanho L sem que ninguém a empurre consitiui um exemplo prático de oscilação amortecida. A fim da criança não parar de balançar, um agente externo (pessoa) atua sobre a criança exercendo uma força, por exemplo, do tipo oscilatória F(t)=Fo sin w t. Para pequenas oscilações e depois de passar o regime transiente, teremos a seguinte equação horária para o ângulo theta(t)=A(w) sin (w t+phi), onde phi é uma fase, A(w)=Foraizb^2 wo^2+m^2(wo^2-w^2) e w0=raizgL é a frequência natural do balanço na ausência de dissipação (força resistiva =-b v ). (a) (peso 1 , 0 ) Determina a frequência de ressonância? (b) (peso 0,5) Calcule a amplitude do ângulo na ressonâcia? © (peso 0,5) Calcule a amplitude da velocidade na ressonânica?
Problema 3

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma criança balançando num balanço com comprimento theta(t) = A(omega) sin(omega t + phi) e massa . Sem ninguém empurrando, isso é um exemplo de oscilação amortecida. Para a criança continuar balançando, alguém precisa empurrar com uma força oscilatória . A equação do ângulo depois de estabilizado é dada por:
onde e é a frequência natural do balanço sem dissipação. Vamos resolver cada parte do problema passo a passo, explicando a teoria necessária.

Passo 2

Parte (a): Determinar a frequência de ressonância
A ressonância ocorre quando a amplitude A(omega) = F0raizb^2 omega0^2 + m^2(omega0^2 - omega^2) é máxima. Para encontrar essa frequência, precisamos maximizar raizb^2 omega0^2 + m^2(omega0^2 - omega^2) em relação a ddomega ( b^2 omega0^2 + m^2(omega0^2 - omega^2) ) = 0 .
A amplitude é dada por:
-2m^2 omega = 0
Para maximizar omega = 0 , equivalente a minimizar o denominador:
A(omega) = F0raiz(b^2 - m^2)omega0^2 + m^2 omega^2
Vamos derivar o denominador em relação a dAdomega = 0 e igualar a zero:
omegar = omega0 raiz1 - b^22m^2
Mas isso não faz sentido físico para ressonância. Provavelmente houve um erro na diferenciação. Na verdade, vamos considerar a expressão correta para e encontrar o que maximiza .
A expressão correta da amplitude é:
Para encontrar a frequência de ressonância , derivamos em relação a e igualamos a zero:
Resolvendo, encontramos:

Passo 3

Parte (b): Calcular a amplitude do ângulo na ressonância
Agora que temos a frequência de ressonância A(omegar) = F0raizb^2 omega0^2 + m^2(omega0^2 - omegar^2) , vamos calcular a amplitude A(omegar) = F0raizb^2 omega0^2 + m^2(omega0^2 - omega0^2 (1 - b^22m^2)) .
Substituindo A(omegar) = F0raizb^2 omega0^2 + m^2 ( b^22m^2 omega0^2 ) na expressão da amplitude:
A(omegar) = F0raizb^2 omega0^2 + b^22 omega0^2
Substituindo A(omegar) = F0raiz3b^22 omega0^2 = F0omega0 b raiz32 = raiz2 F0omega0 b raiz3 :
A(omegar) = raiz2 F0b omega0 raiz3 = F0 raiz2b omega0 raiz3
Simplificando:

Passo 4

Parte ©: Calcular a amplitude da velocidade na ressonância
A velocidade é a derivada do ângulo em relação ao tempo:
v(t) = dtheta(t)dt = A(omega) omega cos(omega t + phi)
A amplitude da velocidade V = A(omega) omega é:
Vr = A(omegar) omegar
Na ressonância:
Vr = F0 raiz2b omega0 raiz3 cdot omegar
Usando Vr = F0 raiz2b omega0 raiz3 cdot omega0 raiz1 - b^22m^2 = F0 raiz2b raiz3 raiz1 - b^22m^2 que calculamos anteriormente:
Substituindo :

Resposta

(a) A frequência de ressonância é .
(b) A amplitude do ângulo na ressonância é .
© A amplitude da velocidade na ressonância é .

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