Quando uma criança de massa
se balança em um balanço de tamanho
sem que ninguém a empurre consitiui um exemplo prático de oscilação amortecida. A fim da criança não parar de balançar, um agente externo (pessoa) atua sobre a criança exercendo uma força, por exemplo, do tipo oscilatória
. Para pequenas oscilações e depois de passar o regime transiente, teremos a seguinte equação horária para o ângulo
, onde
é uma fase,
é a frequência natural do balanço na ausência de dissipação (força resistiva
). (a) (peso
) Determina a frequência de ressonância? (b) (peso 0,5) Calcule a amplitude do ângulo na ressonâcia? © (peso 0,5) Calcule a amplitude da velocidade na ressonânica?
Problema 3
Problema 3
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma criança balançando num balanço com comprimento
e massa
. Sem ninguém empurrando, isso é um exemplo de oscilação amortecida. Para a criança continuar balançando, alguém precisa empurrar com uma força oscilatória
. A equação do ângulo
depois de estabilizado é dada por:
onde
e
é a frequência natural do balanço sem dissipação. Vamos resolver cada parte do problema passo a passo, explicando a teoria necessária.
Passo 2
Parte (a): Determinar a frequência de ressonância
A ressonância ocorre quando a amplitude
é máxima. Para encontrar essa frequência, precisamos maximizar
em relação a
.
A amplitude é dada por:
Para maximizar
, equivalente a minimizar o denominador:
Vamos derivar o denominador em relação a
e igualar a zero:
Mas isso não faz sentido físico para ressonância. Provavelmente houve um erro na diferenciação. Na verdade, vamos considerar a expressão correta para
e encontrar o
que maximiza
.
A expressão correta da amplitude é:
Para encontrar a frequência de ressonância
, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Resolvendo, encontramos:
Passo 3
Parte (b): Calcular a amplitude do ângulo na ressonância
Agora que temos a frequência de ressonância
, vamos calcular a amplitude
.
Substituindo
na expressão da amplitude:
Substituindo
:
Simplificando:
Passo 4
Parte ©: Calcular a amplitude da velocidade na ressonância
A velocidade é a derivada do ângulo em relação ao tempo:
A amplitude da velocidade
é:
Na ressonância:
Usando
que calculamos anteriormente:
Substituindo
:
Resposta
(a) A frequência de ressonância é
.
(b) A amplitude do ângulo na ressonância é
.
© A amplitude da velocidade na ressonância é
.
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