Quando uma criança de massa se balança em um balanço de tamanho sem que ninguém a empurre consitiui um exemplo prático de oscilação amortecida. A fim da criança não parar de balançar, um agente externo (pessoa) atua sobre a criança exercendo uma força, por exemplo, do tipo oscilatória . Para pequenas oscilações e depois de passar o regime transiente, teremos a seguinte equação horária para o ângulo , onde é uma fase, é a frequência natural do balanço na ausência de dissipação (força resistiva ). (a) (peso ) Determina a frequência de ressonância? (b) (peso 0,5) Calcule a amplitude do ângulo na ressonâcia? © (peso 0,5) Calcule a amplitude da velocidade na ressonânica?
Problema 3

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma criança balançando num balanço com comprimento e massa . Sem ninguém empurrando, isso é um exemplo de oscilação amortecida. Para a criança continuar balançando, alguém precisa empurrar com uma força oscilatória . A equação do ângulo depois de estabilizado é dada por:
onde e é a frequência natural do balanço sem dissipação. Vamos resolver cada parte do problema passo a passo, explicando a teoria necessária.

Passo 2

Parte (a): Determinar a frequência de ressonância
A ressonância ocorre quando a amplitude é máxima. Para encontrar essa frequência, precisamos maximizar em relação a .
A amplitude é dada por:
Para maximizar , equivalente a minimizar o denominador:
Vamos derivar o denominador em relação a e igualar a zero:
Mas isso não faz sentido físico para ressonância. Provavelmente houve um erro na diferenciação. Na verdade, vamos considerar a expressão correta para e encontrar o que maximiza .
A expressão correta da amplitude é:
Para encontrar a frequência de ressonância , derivamos em relação a e igualamos a zero:
Resolvendo, encontramos:

Passo 3

Parte (b): Calcular a amplitude do ângulo na ressonância
Agora que temos a frequência de ressonância , vamos calcular a amplitude .
Substituindo na expressão da amplitude:
Substituindo :
Simplificando:

Passo 4

Parte ©: Calcular a amplitude da velocidade na ressonância
A velocidade é a derivada do ângulo em relação ao tempo:
A amplitude da velocidade é:
Na ressonância:
Usando que calculamos anteriormente:
Substituindo :

Resposta

(a) A frequência de ressonância é .
(b) A amplitude do ângulo na ressonância é .
© A amplitude da velocidade na ressonância é .

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