Para um gás ideal, exprima a derivada (partial p / partial T)V em termos de alpha e kappa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a derivada (partial p / partial T)V para um gás ideal, expressando-a em termos de alpha e kappa. Aqui, alpha é o coeficiente de expansão térmica e kappa é a compressibilidade isoterma. Vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e como essas grandezas se relacionam na termodinâmica dos gases ideais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da equação dos gases ideais:
pV = nRT
Onde:
  • $ p $ é a pressão,
  • $ V $ é o volume,
  • $ n $ é a quantidade de matéria,
  • $ R $ é a constante dos gases,
  • $ T $ é a temperatura.
Como queremos a derivada da pressão em relação à temperatura mantendo o volume constante, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a $ T $ com $ V $ constante.

Passo 3

Derivando $ pV = nRT $ em relação a $ T $ com $ V $ constante, temos:
pV = nRT
Isolando T :
V
Mas sabemos que $ \frac{nR}{V} $ também pode ser escrito como $ \frac{p}{T} $ usando a equação dos gases ideais novamente.

Passo 4

Agora, precisamos expressar essa derivada em termos de alpha e kappa. Vamos relembrar as definições:
  • Coeficiente de expansão térmica ( alpha):
alpha = 1V ( partial Vpartial T )p
  • Compressibilidade isoterma ( kappa):
kappa = -1V ( partial Vpartial p )T

Passo 5

Para relacionar partial ppartial T|V com alpha e kappa, usamos a regra da cadeia para derivadas parciais. A relação que conecta essas derivadas é:
partial ppartial T|V = alphakappa
Isso acontece porque alpha e kappa descrevem como o volume muda com temperatura e pressão, respectivamente, e essas mudanças influenciam diretamente a variação de $ p $ com $ T $ quando $ V $ é constante.

Resposta

A derivada (partial ppartial T)V para um gás ideal em termos de alpha e kappa é:
(partial ppartial T)V = alphakappa

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