Para um gás ideal, exprima a derivada em termos de e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a derivada para um gás ideal, expressando-a em termos de e . Aqui, é o coeficiente de expansão térmica e é a compressibilidade isoterma. Vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e como essas grandezas se relacionam na termodinâmica dos gases ideais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da equação dos gases ideais:
Onde:
$ p $ é a pressão,
$ V $ é o volume,
$ n $ é a quantidade de matéria,
$ R $ é a constante dos gases,
$ T $ é a temperatura.
Como queremos a derivada da pressão em relação à temperatura mantendo o volume constante, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a $ T $ com $ V $ constante.
Passo 3
Derivando $ pV = nRT $ em relação a $ T $ com $ V $ constante, temos:
Isolando T :
V
Mas sabemos que $ \frac{nR}{V} $ também pode ser escrito como $ \frac{p}{T} $ usando a equação dos gases ideais novamente.
Passo 4
Agora, precisamos expressar essa derivada em termos de alpha e kappa. Vamos relembrar as definições:
Coeficiente de expansão térmica (alpha):
alpha = 1V ( partial Vpartial T )p
Compressibilidade isoterma (kappa):
kappa = -1V ( partial Vpartial p )T
Passo 5
Para relacionar partial ppartial T|V com alpha e kappa, usamos a regra da cadeia para derivadas parciais. A relação que conecta essas derivadas é:
partial ppartial T|V = alphakappa
Isso acontece porque alpha e kappa descrevem como o volume muda com temperatura e pressão, respectivamente, e essas mudanças influenciam diretamente a variação de $ p $ com $ T $ quando $ V $ é constante.
Resposta
A derivada (partial ppartial T)V para um gás ideal em termos de alpha e kappa é: