Um cilindro de massa
e raio
é enrolado através de dois fios, cada um preso a uma das extremidades do cilindro, sendo a outra ponta presa ao teto (veja a figura abaixo). O cilindro é inicialmente mantido na horizontal, sendo em seguida abandonado, com os fios permanecendo na direção vertical.
Passo 1
Então, você tem um cilindro com massa
e raio
pendurado por dois fios nas suas extremidades, e ele começa na posição horizontal antes de ser solto. Vamos usar conhecimentos de dinâmica rotacional e movimento harmônico simples para entender como esse cilindro se comporta quando é abandonado.
Passo 2
Primeiro, precisamos visualizar o que acontece quando o cilindro é solto. Como os fios ficam na vertical, o cilindro vai começar a girar para ficar na posição vertical devido à força da gravidade agindo sobre seu centro de massa.
Passo 3
Para entender o movimento, vamos considerar os torques envolvidos. O torque (
) é a força que causa a rotação e é dado por:
onde
é a distância perpendicular do ponto de rotação até a linha de ação da força, e
é a força aplicada.
Passo 4
Aqui, a força é o peso do cilindro (
), e a distância é o raio
. Então, o torque fica:
Passo 5
Agora, precisamos relacionar o torque à aceleração angular (
). Sabemos que:
onde
é o momento de inércia do cilindro. Para um cilindro sólido girando em torno de seu eixo, o momento de inércia é:
Passo 6
Substituindo
na equação do torque:
Simplificando, o
e um
se cancelam:
Passo 7
A aceleração angular
está relacionada à frequência angular (
) no movimento harmônico simples:
onde
é o ângulo de deslocamento. Para pequenas oscilações, podemos considerar
.
Passo 8
Finalmente, a frequência do movimento é:
E o período (
) das oscilações é o inverso da frequência:
Resposta
O período das oscilações do cilindro é
.
Exercícios relacionados
Em um parque de diversões, há um pequeno carrossel de raio
e massa
. O carrossel consiste, na verdade, de um cilindro, que pode girar em torno de seu eixo vertical. Uma criança de massa
corre com velocidade
em direção a um ponto do carrossel, sendo que a projeção da linha que dá a direção de seu movimento passa a uma distância
do eixo do carrossel. A criança pula sobre o carrossel quando este está parado e se agarra a ele, ficando em sua borda.
Uma hélice construída com quatro tábuas idênticas, de modo a formar quatro ângulos retos (ver figura), gira sem atrito com velocidade
torno de um eixo preso ao seu centro. O momento de inércia do sistema em relação a esse eixo é
e o raio da hélice é
. Um menino atira no topo de uma das tábuas uma geléia de massa
que atinge a tábua perpendicularmente com uma velocidade
e fica grudada nela.
Duas crianças, cada uma com massa
, sentam-se nas extremidades opostas de uma barra de comprimento
e massa também
. A barra possui uma suspensão em seu centro e pode girar livremente em torno de um eixo vertical, num plano horizontal. Determine o momento angular do sistema se ele estiver girando com uma velocidade angular
no sentido horário (visto de cima). Indique o sentido do vetor momento angular.
Duas patinadoras, cada uma com massa igual a
, se aproximam uma da outra ao longo de trajetórias paralelas separadas por uma distância
. As patinadoras têm velocidades opostas, de módulo
. Uma das patinadoras carrega uma baliza longa de massa desprezível, segurando-a por uma das extremidades. Quando a outra patinadora passa pela primeira, ela se agarra à extremidade livre da baliza. As patinadoras passam então a girar em torno do centro da baliza. Suponha que o atrito entre as patinadoras e o gelo seja desprezível. Que importante lei física você usou na resolução deste problema? Por que pôde usá-la?