Um cilindro de massa e raio é enrolado através de dois fios, cada um preso a uma das extremidades do cilindro, sendo a outra ponta presa ao teto (veja a figura abaixo). O cilindro é inicialmente mantido na horizontal, sendo em seguida abandonado, com os fios permanecendo na direção vertical.

Passo 1

Então, você tem um cilindro com massa e raio pendurado por dois fios nas suas extremidades, e ele começa na posição horizontal antes de ser solto. Vamos usar conhecimentos de dinâmica rotacional e movimento harmônico simples para entender como esse cilindro se comporta quando é abandonado.

Passo 2

Primeiro, precisamos visualizar o que acontece quando o cilindro é solto. Como os fios ficam na vertical, o cilindro vai começar a girar para ficar na posição vertical devido à força da gravidade agindo sobre seu centro de massa.

Passo 3

Para entender o movimento, vamos considerar os torques envolvidos. O torque ( ) é a força que causa a rotação e é dado por:
onde é a distância perpendicular do ponto de rotação até a linha de ação da força, e é a força aplicada.

Passo 4

Aqui, a força é o peso do cilindro ( ), e a distância é o raio . Então, o torque fica:

Passo 5

Agora, precisamos relacionar o torque à aceleração angular ( ). Sabemos que:
onde é o momento de inércia do cilindro. Para um cilindro sólido girando em torno de seu eixo, o momento de inércia é:

Passo 6

Substituindo na equação do torque:
Simplificando, o e um se cancelam:

Passo 7

A aceleração angular está relacionada à frequência angular ( ) no movimento harmônico simples:
onde é o ângulo de deslocamento. Para pequenas oscilações, podemos considerar .

Passo 8

Finalmente, a frequência do movimento é:
E o período ( ) das oscilações é o inverso da frequência:

Resposta

O período das oscilações do cilindro é .

Exercícios relacionados

Em um parque de diversões, há um pequeno carrossel de raio e massa . O carrossel consiste, na verdade, de um cilindro, que pode girar em torno de seu eixo vertical. Uma criança de massa corre com velocidade em direção a um ponto do carrossel, sendo que a projeção da linha que dá a direção de seu movimento passa a uma distância do eixo do carrossel. A criança pula sobre o carrossel quando este está parado e se agarra a ele, ficando em sua borda.
Uma hélice construída com quatro tábuas idênticas, de modo a formar quatro ângulos retos (ver figura), gira sem atrito com velocidade torno de um eixo preso ao seu centro. O momento de inércia do sistema em relação a esse eixo é e o raio da hélice é . Um menino atira no topo de uma das tábuas uma geléia de massa que atinge a tábua perpendicularmente com uma velocidade e fica grudada nela.
Duas crianças, cada uma com massa , sentam-se nas extremidades opostas de uma barra de comprimento e massa também . A barra possui uma suspensão em seu centro e pode girar livremente em torno de um eixo vertical, num plano horizontal. Determine o momento angular do sistema se ele estiver girando com uma velocidade angular no sentido horário (visto de cima). Indique o sentido do vetor momento angular.
Duas patinadoras, cada uma com massa igual a , se aproximam uma da outra ao longo de trajetórias paralelas separadas por uma distância . As patinadoras têm velocidades opostas, de módulo . Uma das patinadoras carrega uma baliza longa de massa desprezível, segurando-a por uma das extremidades. Quando a outra patinadora passa pela primeira, ela se agarra à extremidade livre da baliza. As patinadoras passam então a girar em torno do centro da baliza. Suponha que o atrito entre as patinadoras e o gelo seja desprezível. Que importante lei física você usou na resolução deste problema? Por que pôde usá-la?