Um cilindro de massa m e raio R é enrolado através de dois fios, cada um preso a uma das extremidades do cilindro, sendo a outra ponta presa ao teto (veja a figura abaixo). O cilindro é inicialmente mantido na horizontal, sendo em seguida abandonado, com os fios permanecendo na direção vertical.

Passo 1

Então, você tem um cilindro com massa e raio pendurado por dois fios nas suas extremidades, e ele começa na posição horizontal antes de ser solto. Vamos usar conhecimentos de dinâmica rotacional e movimento harmônico simples para entender como esse cilindro se comporta quando é abandonado.

Passo 2

Primeiro, precisamos visualizar o que acontece quando o cilindro é solto. Como os fios ficam na vertical, o cilindro vai começar a girar para ficar na posição vertical devido à força da gravidade agindo sobre seu centro de massa.

Passo 3

Para entender o movimento, vamos considerar os torques envolvidos. O torque ( tau = r times F ) é a força que causa a rotação e é dado por:
onde é a distância perpendicular do ponto de rotação até a linha de ação da força, e é a força aplicada.

Passo 4

Aqui, a força é o peso do cilindro ( tau = R times mg = m g R ), e a distância é o raio . Então, o torque fica:

Passo 5

Agora, precisamos relacionar o torque à aceleração angular ( tau = I alpha ). Sabemos que:
I = 12 m R^2
onde é o momento de inércia do cilindro. Para um cilindro sólido girando em torno de seu eixo, o momento de inércia é:

Passo 6

Substituindo m g R = 12 m R^2 alpha na equação do torque:
g = 12 R alpha implies alpha = 2gR
Simplificando, o e um se cancelam:

Passo 7

A aceleração angular alpha = omega^2 theta está relacionada à frequência angular ( ) no movimento harmônico simples:
onde é o ângulo de deslocamento. Para pequenas oscilações, podemos considerar .

Passo 8

Finalmente, a frequência do movimento é:
omega = raiz2gR
E o período ( T = 2piomega = 2pi raizR2g ) das oscilações é o inverso da frequência:

Resposta

O período das oscilações do cilindro é .

Exercícios relacionados