Um cilindro de massa
e raio
é enrolado através de dois fios, cada um preso a uma das extremidades do cilindro, sendo a outra ponta presa ao teto (veja a figura abaixo). O cilindro é inicialmente mantido na horizontal, sendo em seguida abandonado, com os fios permanecendo na direção vertical.
Passo 1
Então, você tem um cilindro com massa
e raio
pendurado por dois fios nas suas extremidades, e ele começa na posição horizontal antes de ser solto. Vamos usar conhecimentos de dinâmica rotacional e movimento harmônico simples para entender como esse cilindro se comporta quando é abandonado.
Passo 2
Primeiro, precisamos visualizar o que acontece quando o cilindro é solto. Como os fios ficam na vertical, o cilindro vai começar a girar para ficar na posição vertical devido à força da gravidade agindo sobre seu centro de massa.
Passo 3
Para entender o movimento, vamos considerar os torques envolvidos. O torque (
) é a força que causa a rotação e é dado por:
onde
é a distância perpendicular do ponto de rotação até a linha de ação da força, e
é a força aplicada.
Passo 4
Aqui, a força é o peso do cilindro (
), e a distância é o raio
. Então, o torque fica:
Passo 5
Agora, precisamos relacionar o torque à aceleração angular (
). Sabemos que:
onde
é o momento de inércia do cilindro. Para um cilindro sólido girando em torno de seu eixo, o momento de inércia é:
Passo 6
Substituindo
na equação do torque:
Simplificando, o
e um
se cancelam:
Passo 7
A aceleração angular
está relacionada à frequência angular (
) no movimento harmônico simples:
onde
é o ângulo de deslocamento. Para pequenas oscilações, podemos considerar
.
Passo 8
Finalmente, a frequência do movimento é:
E o período (
) das oscilações é o inverso da frequência:
Resposta
O período das oscilações do cilindro é
.