Em um parque de diversões, há um pequeno carrossel de raio R e massa M. O carrossel consiste, na verdade, de um cilindro, que pode girar em torno de seu eixo vertical. Uma criança de massa m corre com velocidade v0 em direção a um ponto do carrossel, sendo que a projeção da linha que dá a direção de seu movimento passa a uma distância r do eixo do carrossel. A criança pula sobre o carrossel quando este está parado e se agarra a ele, ficando em sua borda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de física envolvendo rotação, especificamente sobre conservação do momento angular. Basicamente, temos um carrossel (que é um cilindro girando em torno de seu eixo) e uma criança que pula nele. Precisamos descobrir como a rotação do carrossel muda quando a criança se junta a ele.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece antes da criança pular no carrossel. O carrossel está parado, ou seja, sua velocidade angular inicial ( ) é zero. A criança está se movendo com uma velocidade linear em direção ao carrossel, e a linha do movimento dela está a uma distância do eixo do carrossel.

Passo 3

Quando a criança pula no carrossel, ela se envolve na rotação. Isso significa que o momento angular total do sistema (carrossel + criança) após o salto será a soma dos momentos angulares individuais. Como não há forças externas atuando no sistema, o momento angular total é conservado.

Passo 4

Vamos calcular o momento angular antes e depois da criança pular no carrossel.
Antes:
  • Momento angular do carrossel: (porque )
  • Momento angular da criança: ç
Depois:
  • Momento angular total: ç

Passo 5

Precisamos das inércias de momento:
  • Para o carrossel (cilindro):
  • Para a criança (tratando como ponto de massa): ç

Passo 6

Aplicando a conservação do momento angular:
Antes = Depois

Passo 7

Agora, isolamos para encontrar a velocidade angular final do carrossel:

Resposta

A velocidade angular final do carrossel após a criança pular nele é:
omega = m , v0 , r12 M R^2 + m r^2

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